8.2 建堆操作
在某些情况下，我们希望使用一个列表的所有元素来构建一个堆，这个过程被称为“建堆操作”。
8.2.1 借助入堆操作实现
我们首先创建一个空堆，然后遍历列表，依次对每个元素执行“入堆操作”，即先将元素添加至堆的尾部，再对该元素执行“从底至顶”堆化。
每当一个元素入堆，堆的长度就加一。由于节点是从顶到底依次被添加进二叉树的，因此堆是“自上而下”构建的。
设元素数量为 \(n\) ，每个元素的入堆操作使用 \(O(\log{n})\) 时间，因此该建堆方法的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。
8.2.2 通过遍历堆化实现
实际上，我们可以实现一种更为高效的建堆方法，共分为两步。
- 将列表所有元素原封不动添加到堆中，此时堆的性质尚未得到满足。
- 倒序遍历堆（即层序遍历的倒序），依次对每个非叶节点执行“从顶至底堆化”。
每当堆化一个节点后，以该节点为根节点的子树就形成一个合法的子堆。而由于是倒序遍历，因此堆是“自下而上”构建的。
之所以选择倒序遍历，是因为这样能够保证当前节点之下的子树已经是合法的子堆，这样堆化当前节点才是有效的。
值得说明的是，叶节点没有子节点，天然就是合法的子堆，因此无须堆化。如以下代码所示，最后一个非叶节点是最后一个节点的父节点，我们从它开始倒序遍历并执行堆化。
my_heap.pydef __init__(self, nums: list[int]):
"""构造方法，根据输入列表建堆"""
# 将列表元素原封不动添加进堆
self.max_heap = nums
# 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
self.sift_down(i)
my_heap.cpp/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(vector<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums;
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
my_heap.java/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
my_heap.cs/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new List<int>(nums);
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var size = Parent(this.Size() - 1);
for (int i = size; i >= 0; i--) {
SiftDown(i);
}
}
my_heap.go/* 构造函数，根据切片建堆 */
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
// 将列表元素原封不动添加进堆
h := &maxHeap{data: nums}
for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
h.siftDown(i)
}
return h
}
my_heap.swift/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
init(nums: [Int]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = nums
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
siftDown(i: i)
}
}
my_heap.js/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.#siftDown(i);
}
}
my_heap.ts/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
constructor(nums?: number[]) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
this.siftDown(i);
}
}
my_heap.dart/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
MaxHeap(List<int> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
_maxHeap = nums;
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
my_heap.rs/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
// 将列表元素原封不动添加进堆
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
heap.sift_down(i);
}
heap
}
my_heap.c/* 构造函数，根据切片建堆 */
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
// 所有元素入堆
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
maxHeap->size = size;
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
siftDown(maxHeap, i);
}
return maxHeap;
}
my_heap.zig// 构造方法，根据输入列表建堆
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
if (self.max_heap != null) return;
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
// 将列表元素原封不动添加进堆
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
// 堆化除叶节点以外的其他所有节点
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
while (i > 0) : (i -= 1) {
try self.siftDown(i - 1);
}
}
8.2.3 复杂度分析
下面，我们来尝试推算第二种建堆方法的时间复杂度。
- 假设完全二叉树的节点数量为 \(n\) ，则叶节点数量为 \((n + 1) / 2\) ，其中 \(/\) 为向下整除。因此需要堆化的节点数量为 \((n - 1) / 2\) 。
- 在从顶至底堆化的过程中，每个节点最多堆化到叶节点，因此最大迭代次数为二叉树高度 \(\log n\) 。
将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。但这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层节点数量远多于顶层节点的性质。
接下来我们来进行更为准确的计算。为了降低计算难度，假设给定一个节点数量为 \(n\) 、高度为 \(h\) 的“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。
图 8-5 完美二叉树的各层节点数量
如图 8-5 所示，节点“从顶至底堆化”的最大迭代次数等于该节点到叶节点的距离，而该距离正是“节点高度”。因此，我们可以对各层的“节点数量 \(\times\) 节点高度”求和，得到所有节点的堆化迭代次数的总和。
\[
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
\]
化简上式需要借助中学的数列知识，先对 \(T(h)\) 乘以 \(2\) ，得到：
\[
\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}
\]
使用错位相减法，用下式 \(2 T(h)\) 减去上式 \(T(h)\) ，可得：
\[
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
\]
观察上式，发现 \(T(h)\) 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为：
\[
\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}
\]
进一步地，高度为 \(h\) 的完美二叉树的节点数量为 \(n = 2^{h+1} - 1\) ，易得复杂度为 \(O(2^h) = O(n)\) 。以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 \(O(n)\) ，非常高效。