图 7-1 父节点、子节点、子树
## 7.1.1 二叉树常见术语 二叉树的常用术语如图 7-2 所示。 - 根节点(root node):位于二叉树顶层的节点,没有父节点。 - 叶节点(leaf node):没有子节点的节点,其两个指针均指向 `None` 。 - 边(edge):连接两个节点的线段,即节点引用(指针)。 - 节点所在的层(level):从顶至底递增,根节点所在层为 1 。 - 节点的度(degree):节点的子节点的数量。在二叉树中,度的取值范围是 0、1、2 。 - 二叉树的高度(height):从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。 - 节点的深度(depth):从根节点到该节点所经过的边的数量。 - 节点的高度(height):从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。 ![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png){ class="animation-figure" }图 7-2 二叉树的常用术语
!!! tip 请注意,我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”,但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下,高度和深度都需要加 1 。 ## 7.1.2 二叉树基本操作 ### 1. 初始化二叉树 与链表类似,首先初始化节点,然后构建引用(指针)。 === "Python" ```python title="binary_tree.py" # 初始化二叉树 # 初始化节点 n1 = TreeNode(val=1) n2 = TreeNode(val=2) n3 = TreeNode(val=3) n4 = TreeNode(val=4) n5 = TreeNode(val=5) # 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode* n1 = new TreeNode(1); TreeNode* n2 = new TreeNode(2); TreeNode* n3 = new TreeNode(3); TreeNode* n4 = new TreeNode(4); TreeNode* n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" // 初始化节点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode n1 = new(1); TreeNode n2 = new(2); TreeNode n3 = new(3); TreeNode n4 = new(4); TreeNode n5 = new(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 n1 := NewTreeNode(1) n2 := NewTreeNode(2) n3 := NewTreeNode(3) n4 := NewTreeNode(4) n5 := NewTreeNode(5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.Left = n2 n1.Right = n3 n2.Left = n4 n2.Right = n5 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" // 初始化节点 let n1 = TreeNode(x: 1) let n2 = TreeNode(x: 2) let n3 = TreeNode(x: 3) let n4 = TreeNode(x: 4) let n5 = TreeNode(x: 5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 let n1 = new TreeNode(1), n2 = new TreeNode(2), n3 = new TreeNode(3), n4 = new TreeNode(4), n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode n1 = new TreeNode(1); TreeNode n2 = new TreeNode(2); TreeNode n3 = new TreeNode(3); TreeNode n4 = new TreeNode(4); TreeNode n5 = new TreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2; n1.right = n3; n2.left = n4; n2.right = n5; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" // 初始化节点 let n1 = TreeNode::new(1); let n2 = TreeNode::new(2); let n3 = TreeNode::new(3); let n4 = TreeNode::new(4); let n5 = TreeNode::new(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); n1.borrow_mut().right = Some(n3); n2.borrow_mut().left = Some(n4); n2.borrow_mut().right = Some(n5); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* 初始化二叉树 */ // 初始化节点 TreeNode *n1 = newTreeNode(1); TreeNode *n2 = newTreeNode(2); TreeNode *n3 = newTreeNode(3); TreeNode *n4 = newTreeNode(4); TreeNode *n5 = newTreeNode(5); // 构建节点之间的引用(指针) n1->left = n2; n1->right = n3; n2->left = n4; n2->right = n5; ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" // 初始化节点 val n1 = TreeNode(1) val n2 = TreeNode(2) val n3 = TreeNode(3) val n4 = TreeNode(4) val n5 = TreeNode(5) // 构建节点之间的引用(指针) n1.left = n2 n1.right = n3 n2.left = n4 n2.right = n5 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree.zig" ``` ??? pythontutor "可视化运行" ### 2. 插入与删除节点 与链表类似,在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。图 7-3 给出了一个示例。 ![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png){ class="animation-figure" }图 7-3 在二叉树中插入与删除节点
=== "Python" ```python title="binary_tree.py" # 插入与删除节点 p = TreeNode(0) # 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = p p.left = n2 # 删除节点 P n1.left = n2 ``` === "C++" ```cpp title="binary_tree.cpp" /* 插入与删除节点 */ TreeNode* P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除节点 P n1->left = n2; ``` === "Java" ```java title="binary_tree.java" TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2; ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree.cs" /* 插入与删除节点 */ TreeNode P = new(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2; ``` === "Go" ```go title="binary_tree.go" /* 插入与删除节点 */ // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P p := NewTreeNode(0) n1.Left = p p.Left = n2 // 删除节点 P n1.Left = n2 ``` === "Swift" ```swift title="binary_tree.swift" let P = TreeNode(x: 0) // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P P.left = n2 // 删除节点 P n1.left = n2 ``` === "JS" ```javascript title="binary_tree.js" /* 插入与删除节点 */ let P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2; ``` === "TS" ```typescript title="binary_tree.ts" /* 插入与删除节点 */ const P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2; ``` === "Dart" ```dart title="binary_tree.dart" /* 插入与删除节点 */ TreeNode P = new TreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P; P.left = n2; // 删除节点 P n1.left = n2; ``` === "Rust" ```rust title="binary_tree.rs" let p = TreeNode::new(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.borrow_mut().left = Some(p.clone()); p.borrow_mut().left = Some(n2.clone()); // 删除节点 p n1.borrow_mut().left = Some(n2); ``` === "C" ```c title="binary_tree.c" /* 插入与删除节点 */ TreeNode *P = newTreeNode(0); // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1->left = P; P->left = n2; // 删除节点 P n1->left = n2; ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_tree.kt" val P = TreeNode(0) // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P n1.left = P P.left = n2 // 删除节点 P n1.left = n2 ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_tree.rb" ``` === "Zig" ```zig title="binary_tree.zig" ``` ??? pythontutor "可视化运行" !!! note 需要注意的是,插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构,而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此,在二叉树中,插入与删除通常是由一套操作配合完成的,以实现有实际意义的操作。 ## 7.1.3 常见二叉树类型 ### 1. 完美二叉树 如图 7-4 所示,完美二叉树(perfect binary tree)所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中,叶节点的度为 $0$ ,其余所有节点的度都为 $2$ ;若树的高度为 $h$ ,则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ,呈现标准的指数级关系,反映了自然界中常见的细胞分裂现象。 !!! tip 请注意,在中文社区中,完美二叉树常被称为满二叉树。 ![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png){ class="animation-figure" }图 7-4 完美二叉树
### 2. 完全二叉树 如图 7-5 所示,完全二叉树(complete binary tree)只有最底层的节点未被填满,且最底层节点尽量靠左填充。 ![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png){ class="animation-figure" }图 7-5 完全二叉树
### 3. 完满二叉树 如图 7-6 所示,完满二叉树(full binary tree)除了叶节点之外,其余所有节点都有两个子节点。 ![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png){ class="animation-figure" }图 7-6 完满二叉树
### 4. 平衡二叉树 如图 7-7 所示,平衡二叉树(balanced binary tree)中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。 ![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png){ class="animation-figure" }图 7-7 平衡二叉树
## 7.1.4 二叉树的退化 图 7-8 展示了二叉树的理想结构与退化结构。当二叉树的每层节点都被填满时,达到“完美二叉树”;而当所有节点都偏向一侧时,二叉树退化为“链表”。 - 完美二叉树是理想情况,可以充分发挥二叉树“分治”的优势。 - 链表则是另一个极端,各项操作都变为线性操作,时间复杂度退化至 $O(n)$ 。 ![二叉树的最佳结构与最差结构](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png){ class="animation-figure" }图 7-8 二叉树的最佳结构与最差结构
如表 7-1 所示,在最佳结构和最差结构下,二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。表 7-1 二叉树的最佳结构与最差结构