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# 10.2. 二分查找边界
在上一节中，题目规定数组中所有元素都是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，**而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素**。
!!! question
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，数组可能包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在数组中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。
## 10.2.1. 简单方法
为了查找数组中最左边的 `target` ，我们可以分为两步：
1. 进行二分查找，定位到任意一个 `target` 的索引，记为 $k$ ；
2. 以索引 $k$ 为起始点，向左进行线性遍历，找到最左边的 `target` 返回即可。
Fig. 线性查找最左边的元素
这个方法虽然有效，但由于包含线性查找，**其时间复杂度可能会劣化至 $O(n)$** 。
## 10.2.2. 二分方法
实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。整体算法流程不变，先计算中点索引 $m$ ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
- 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作，**从而使指针 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
- 当 `nums[m] == target` 时，说明“小于 `target` 的元素”在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此采用 $j = m - 1$ 来缩小区间，**从而使指针 $j$ 向小于 `target` 的元素靠近**。
二分查找完成后，**$i$ 指向最左边的 `target` ，$j$ 指向首个小于 `target` 的元素**，因此返回索引 $i$ 即可。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
注意，数组可能不包含目标元素 `target` 。因此在函数返回前，我们需要先判断 `nums[i]` 与 `target` 是否相等，以及索引 $i$ 是否越界。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.length || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return i;
}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 二分查找最左一个元素 */
int binarySearchLeftEdge(vector &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
}
if (i == nums.size() || nums[i] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return i;
}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最左一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
if i == len(nums) or nums[i] != target:
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
return i
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
```
## 10.2.3. 查找右边界
类似地，我们也可以二分查找最右边的 `target` 。当 `nums[m] == target` 时，说明大于 `target` 的元素在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 `i = m + 1` ，**使得指针 $i$ 向大于 `target` 的元素靠近**。
完成二分后，**$i$ 指向首个大于 `target` 的元素，$j$ 指向最右边的 `target`** ，因此返回索引 $j$ 即可。
=== "Java"
```java title="binary_search_edge.java"
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return j;
}
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_edge.cpp"
/* 二分查找最右一个元素 */
int binarySearchRightEdge(vector &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target)
i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
else if (nums[m] > target)
j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
else
i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
}
if (j < 0 || nums[j] != target)
return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
return j;
}
```
=== "Python"
```python title="binary_search_edge.py"
def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找最右一个元素"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在区间 [i, m-1] 中
else:
i = m + 1 # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
if j == len(nums) or nums[j] != target:
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
return j
```
=== "Go"
```go title="binary_search_edge.go"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="binary_search_edge.js"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="binary_search_edge.ts"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C"
```c title="binary_search_edge.c"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_edge.cs"
[class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_edge.swift"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_edge.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
```
观察下图，搜索最右边元素时指针 $j$ 的作用与搜索最左边元素时指针 $i$ 的作用一致，反之亦然。也就是说，**搜索最左边元素和最右边元素的实现是镜像对称的**。
Fig. 查找最左边和最右边元素的对称性
!!! tip
以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。