---
comments: true
---
# 11.8. 基数排序
上一节我们介绍了计数排序,它适用于数据量 $n$ 较大但数据范围 $m$ 较小的情况。假设我们需要对 $n = 10^6$ 个学号进行排序,而学号是一个 $8$ 位数字,这意味着数据范围 $m = 10^8$ 非常大,使用计数排序需要分配大量内存空间,而基数排序可以避免这种情况。
「基数排序 Radix Sort」的核心思想与计数排序一致,也通过统计个数来实现排序。在此基础上,基数排序利用数字各位之间的递进关系,依次对每一位进行排序,从而得到最终的排序结果。
## 11.8.1. 算法流程
以学号数据为例,假设数字的最低位是第 $1$ 位,最高位是第 $8$ 位,基数排序的步骤如下:
1. 初始化位数 $k = 1$ ;
2. 对学号的第 $k$ 位执行「计数排序」。完成后,数据会根据第 $k$ 位从小到大排序;
3. 将 $k$ 增加 $1$ ,然后返回步骤 `2.` 继续迭代,直到所有位都排序完成后结束;
![基数排序算法流程](radix_sort.assets/radix_sort_overview.png)
Fig. 基数排序算法流程
下面来剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ,要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ,可以使用以下计算公式:
$$
x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d
$$
其中 $\lfloor a \rfloor$ 表示对浮点数 $a$ 向下取整,而 $\bmod \space d$ 表示对 $d$ 取余。对于学号数据,$d = 10$ 且 $k \in [1, 8]$ 。
此外,我们需要小幅改动计数排序代码,使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序。
=== "Java"
```java title="radix_sort.java"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
int[] counter = new int[10];
int n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < n; i++) {
int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (int i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
int[] res = new int[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int d = digit(nums[i], exp);
int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < n; i++)
nums[i] = res[i];
}
/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
int m = Integer.MIN_VALUE;
for (int num : nums)
if (num > m)
m = num;
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
```
=== "C++"
```cpp title="radix_sort.cpp"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(vector &nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
vector counter(10, 0);
int n = nums.size();
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < n; i++) {
int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (int i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
vector res(n, 0);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int d = digit(nums[i], exp);
int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < n; i++)
nums[i] = res[i];
}
/* 基数排序 */
void radixSort(vector &nums) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
```
=== "Python"
```python title="radix_sort.py"
def digit(num: int, exp: int) -> int:
"""获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1)"""
# 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num // exp) % 10
def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int) -> None:
"""计数排序(根据 nums 第 k 位排序)"""
# 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
counter = [0] * 10
n = len(nums)
# 统计 0~9 各数字的出现次数
for i in range(n):
d = digit(nums[i], exp) # 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d] += 1 # 统计数字 d 的出现次数
# 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for i in range(1, 10):
counter[i] += counter[i - 1]
# 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
res = [0] * n
for i in range(n - 1, -1, -1):
d = digit(nums[i], exp)
j = counter[d] - 1 # 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i] # 将当前元素填入索引 j
counter[d] -= 1 # 将 d 的数量减 1
# 使用结果覆盖原数组 nums
for i in range(n):
nums[i] = res[i]
def radix_sort(nums: list[int]) -> None:
"""基数排序"""
# 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
m = max(nums)
# 按照从低位到高位的顺序遍历
exp = 1
while exp <= m:
# 对数组元素的第 k 位执行计数排序
# k = 1 -> exp = 1
# k = 2 -> exp = 10
# 即 exp = 10^(k-1)
counting_sort_digit(nums, exp)
exp *= 10
```
=== "Go"
```go title="radix_sort.go"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
counter := make([]int, 10)
n := len(nums)
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for i := 0; i < n; i++ {
d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++ // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for i := 1; i < 10; i++ {
counter[i] += counter[i-1]
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
res := make([]int, n)
for i := n - 1; i >= 0; i-- {
d := digit(nums[i], exp)
j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
counter[d]-- // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for i := 0; i < n; i++ {
nums[i] = res[i]
}
}
/* 基数排序 */
func radixSort(nums []int) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
max := math.MinInt
for _, num := range nums {
if num > max {
max = num
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp)
}
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="radix_sort.js"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num, exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return Math.floor(num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
function countingSortDigit(nums, exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (let i = 0; i < n; i++) {
const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (let i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
const res = new Array(n).fill(0);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const d = digit(nums[i], exp);
const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
function radixSort(nums) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
let m = Number.MIN_VALUE;
for (const num of nums) {
if (num > m) {
m = num;
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="radix_sort.ts"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
function digit(num: number, exp: number): number {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return Math.floor(num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
function countingSortDigit(nums: number[], exp: number): void {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
const counter = new Array(10).fill(0);
const n = nums.length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (let i = 0; i < n; i++) {
const d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (let i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
const res = new Array(n).fill(0);
for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
const d = digit(nums[i], exp);
const j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (let i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
function radixSort(nums: number[]): void {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
let m = Number.MIN_VALUE;
for (const num of nums) {
if (num > m) {
m = num;
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (let exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
=== "C"
```c title="radix_sort.c"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(int nums[], int size, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
int *counter = (int *)malloc((sizeof(int) * 10));
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < size; i++) {
// 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
int d = digit(nums[i], exp);
// 统计数字 d 的出现次数
counter[d]++;
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (int i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
int *res = (int *)malloc(sizeof(int) * size);
for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
int d = digit(nums[i], exp);
int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < size; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
void radixSort(int nums[], int size) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
int max = INT32_MIN;
for (size_t i = 0; i < size - 1; i++) {
if (nums[i] > max) {
max = nums[i];
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (int exp = 1; max >= exp; exp *= 10)
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, size, exp);
}
```
=== "C#"
```csharp title="radix_sort.cs"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return (num / exp) % 10;
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
int[] counter = new int[10];
int n = nums.Length;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (int i = 0; i < n; i++) {
int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d]++; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for (int i = 1; i < 10; i++) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
int[] res = new int[n];
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
int d = digit(nums[i], exp);
int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d]--; // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for (int i = 0; i < n; i++) {
nums[i] = res[i];
}
}
/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
int m = int.MinValue;
foreach (int num in nums) {
if (num > m) m = num;
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="radix_sort.swift"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
(num / exp) % 10
}
/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
let n = nums.count
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for i in nums.indices {
let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d] += 1 // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
for i in 1 ..< 10 {
counter[i] += counter[i - 1]
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
var res = Array(repeating: 0, count: n)
for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
let j = counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
counter[d] -= 1 // 将 d 的数量减 1
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
for i in nums.indices {
nums[i] = res[i]
}
}
/* 基数排序 */
func radixSort(nums: inout [Int]) {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
var m = Int.min
for num in nums {
if num > m {
m = num
}
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
}
}
```
=== "Zig"
```zig title="radix_sort.zig"
// 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1)
fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
}
// 计数排序(根据 nums 第 k 位排序)
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
// 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
// defer mem_arena.deinit();
const mem_allocator = mem_arena.allocator();
var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
std.mem.set(usize, counter, 0);
var n = nums.len;
// 统计 0~9 各数字的出现次数
for (nums) |num| {
var d = @bitCast(u32, digit(num, exp)); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
}
// 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
var i: usize = 1;
while (i < 10) : (i += 1) {
counter[i] += counter[i - 1];
}
// 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
i = n - 1;
while (i >= 0) : (i -= 1) {
var d = @bitCast(u32, digit(nums[i], exp));
var j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
res[j] = nums[i]; // 将当前元素填入索引 j
counter[d] -= 1; // 将 d 的数量减 1
if (i == 0) break;
}
// 使用结果覆盖原数组 nums
i = 0;
while (i < n) : (i += 1) {
nums[i] = res[i];
}
}
// 基数排序
fn radixSort(nums: []i32) !void {
// 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
var m: i32 = std.math.minInt(i32);
for (nums) |num| {
if (num > m) m = num;
}
// 按照从低位到高位的顺序遍历
var exp: i32 = 1;
while (exp <= m) : (exp *= 10) {
// 对数组元素的第 k 位执行计数排序
// k = 1 -> exp = 1
// k = 2 -> exp = 10
// 即 exp = 10^(k-1)
try countingSortDigit(nums, exp);
}
}
```
!!! question "为什么从最低位开始排序?"
在连续的排序轮次中,后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说,如果第一轮排序结果 $a < b$ ,而第二轮排序结果 $a > b$ ,那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位,我们应该先排序低位再排序高位。
## 11.8.2. 算法特性
**时间复杂度 $O(nk)$** :设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ,则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间,排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下,$d$ 和 $k$ 都相对较小,时间复杂度趋向 $O(n)$ 。
**空间复杂度 $O(n + d)$** :与计数排序相同,基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` ,因此它是一种“非原地排序”。
基数排序与计数排序一样,都属于稳定排序。相较于计数排序,基数排序适用于数值范围较大的情况,**但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式,且位数不能过大**。例如,浮点数不适合使用基数排序,因为其位数 $k$ 过大,可能导致时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。