7.2. 二叉树遍历¶

从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。

常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。

7.2.1. 层序遍历¶

「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。

层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。

二叉树的层序遍历

Fig. 二叉树的层序遍历

算法实现¶

广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

binary_tree_bfs.java

/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll();  // 队列出队
        list.add(node.val);            // 保存结点值
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);    // 左子结点入队
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);   // 右子结点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.cpp

/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder(TreeNode* root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    queue<TreeNode*> queue;
    queue.push(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode* node = queue.front();
        queue.pop();                 // 队列出队
        vec.push_back(node->val);    // 保存结点值
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left);  // 左子结点入队
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right); // 右子结点入队
    }
    return vec;
}

binary_tree_bfs.py

""" 层序遍历 """
def level_order(root: Optional[TreeNode]):
    # 初始化队列，加入根结点
    queue = collections.deque()
    queue.append(root)
    # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    res = []
    while queue:
        node = queue.popleft()       # 队列出队
        res.append(node.val)         # 保存结点值
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # 左子结点入队
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right) # 右子结点入队
    return res

binary_tree_bfs.go

/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
    // 初始化队列，加入根结点
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
    nums := make([]int, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // poll
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // 保存结点值
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // 左子结点入队
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // 右子结点入队
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}

binary_tree_bfs.js

/* 层序遍历 */
function levelOrder(root) {
    // 初始化队列，加入根结点
    let queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    let list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift();   // 队列出队
        list.push(node.val);        // 保存结点值
        if (node.left)
            queue.push(node.left);  // 左子结点入队
        if (node.right)
            queue.push(node.right); // 右子结点入队

    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.ts

/* 层序遍历 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // 初始化队列，加入根结点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存结点值
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // 左子结点入队
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // 右子结点入队
        }
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.c

[class]{}-[func]{levelOrder}

binary_tree_bfs.cs

/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder(TreeNode root)
{
    // 初始化队列，加入根结点
    Queue<TreeNode> queue = new();
    queue.Enqueue(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<int> list = new();
    while (queue.Count != 0)
    {
        TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
        list.Add(node.val);              // 保存结点值
        if (node.left != null)
            queue.Enqueue(node.left);    // 左子结点入队
        if (node.right != null)
            queue.Enqueue(node.right);   // 右子结点入队
    }
    return list;
}

binary_tree_bfs.swift

/* 层序遍历 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
    // 初始化队列，加入根结点
    var queue: [TreeNode] = [root]
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list: [Int] = []
    while !queue.isEmpty {
        let node = queue.removeFirst() // 队列出队
        list.append(node.val) // 保存结点值
        if let left = node.left {
            queue.append(left) // 左子结点入队
        }
        if let right = node.right {
            queue.append(right) // 右子结点入队
        }
    }
    return list
}

binary_tree_bfs.zig

// 层序遍历
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
    // 初始化队列，加入根结点
    const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
    var queue = L{};
    var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
    root_node.data = root;
    queue.append(root_node); 
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator);
    while (queue.len > 0) {
        var queue_node = queue.popFirst().?;    // 队列出队
        var node = queue_node.data;
        try list.append(node.val);              // 保存结点值
        if (node.left != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.left.?;
            queue.append(tmp_node);             // 左子结点入队
        }
        if (node.right != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.right.?;
            queue.append(tmp_node);             // 右子结点入队
        }        
    }
    return list;
}

复杂度分析¶

时间复杂度：所有结点被访问一次，使用 \(O(n)\) 时间，其中 \(n\) 为结点数量。

空间复杂度：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 \(\frac{n + 1}{2}\) 个结点，使用 \(O(n)\) 空间。

7.2.2. 前序、中序、后序遍历¶

相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。

如下图所示，左侧是深度优先遍历的的示意图，右上方是对应的递归实现代码。深度优先遍历就像是绕着整个二叉树的外围“走”一圈，走的过程中，在每个结点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历、后序遍历。

二叉搜索树的前、中、后序遍历

Fig. 二叉搜索树的前、中、后序遍历

位置	含义	此处访问结点时对应
橙色圆圈处	刚进入此结点，即将访问该结点的左子树	前序遍历 Pre-Order Traversal
蓝色圆圈处	已访问完左子树，即将访问右子树	中序遍历 In-Order Traversal
紫色圆圈处	已访问完左子树和右子树，即将返回	后序遍历 Post-Order Traversal

算法实现¶

JavaC++PythonGoJavaScriptTypeScriptCC#SwiftZig

binary_tree_dfs.java

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}

binary_tree_dfs.cpp

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode* root) {
    if (root == nullptr) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}

binary_tree_dfs.py

""" 前序遍历 """
def pre_order(root: Optional[TreeNode]):
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)

""" 中序遍历 """
def in_order(root: Optional[TreeNode]):
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)

""" 后序遍历 """
def post_order(root: Optional[TreeNode]):
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)

binary_tree_dfs.go

/* 前序遍历 */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}

binary_tree_dfs.js

/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.ts

/* 前序遍历 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}

binary_tree_dfs.c

[class]{}-[func]{preOrder}

[class]{}-[func]{inOrder}

[class]{}-[func]{postOrder}

binary_tree_dfs.cs

/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode? root)
{
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.Add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode? root)
{
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.Add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode? root)
{
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.Add(root.val);
}

binary_tree_dfs.swift

/* 前序遍历 */
func preOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    list.append(root.val)
    preOrder(root: root.left)
    preOrder(root: root.right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    inOrder(root: root.left)
    list.append(root.val)
    inOrder(root: root.right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    postOrder(root: root.left)
    postOrder(root: root.right)
    list.append(root.val)
}

binary_tree_dfs.zig

// 前序遍历
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根结点 -> 左子树 -> 右子树
    try list.append(root.?.val);
    try preOrder(T, root.?.left);
    try preOrder(T, root.?.right);
}

// 中序遍历
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根结点 -> 右子树
    try inOrder(T, root.?.left);
    try list.append(root.?.val);
    try inOrder(T, root.?.right);
}

// 后序遍历
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根结点
    try postOrder(T, root.?.left);
    try postOrder(T, root.?.right);
    try list.append(root.?.val);
}

Note

使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。

复杂度分析¶

时间复杂度：所有结点被访问一次，使用 \(O(n)\) 时间，其中 \(n\) 为结点数量。

空间复杂度：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 \(n\) ，系统使用 \(O(n)\) 栈帧空间。

7.2. 二叉树遍历¶

7.2.1. 层序遍历¶

算法实现¶

复杂度分析¶

7.2.2. 前序、中序、后序遍历¶

算法实现¶

复杂度分析¶

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