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3.1.   数据与内存

3.1.1.   基本数据类型

谈及计算机中的数据，我们会想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等各种形式。尽管这些数据的组织形式各异，但它们都由各种基本数据类型构成。

「基本数据类型」是 CPU 可以直接进行运算的类型，在算法中直接被使用。

  • 「整数」按照不同的长度分为 byte, short, int, long 。在满足取值范围的前提下，我们应该尽量选取较短的整数类型，以减小内存空间占用；
  • 「浮点数」表示小数，按长度分为 float, double ，选用规则与整数相同。
  • 「字符」在计算机中以字符集形式保存，char 的值实际上是数字，代表字符集中的编号，计算机通过字符集查表完成编号到字符的转换。
  • 「布尔」代表逻辑中的“是”与“否”，其占用空间需根据编程语言确定。
类别 符号 占用空间 取值范围 默认值
整数 byte 1 byte \(-2^7\) ~ \(2^7 - 1\) ( \(-128\) ~ \(127\) ) \(0\)
short 2 bytes \(-2^{15}\) ~ \(2^{15} - 1\) \(0\)
int 4 bytes \(-2^{31}\) ~ \(2^{31} - 1\) \(0\)
long 8 bytes \(-2^{63}\) ~ \(2^{63} - 1\) \(0\)
浮点数 float 4 bytes \(-3.4 \times 10^{38}\) ~ \(3.4 \times 10^{38}\) \(0.0\) f
double 8 bytes \(-1.7 \times 10^{308}\) ~ \(1.7 \times 10^{308}\) \(0.0\)
字符 char 2 bytes / 1 byte \(0\) ~ \(2^{16} - 1\) \(0\)
布尔 bool 1 byte / 1 bit \(\text{true}\) 或 \(\text{false}\) \(\text{false}\)

以上表格中，加粗项在算法题中最为常用。此表格无需硬背，大致理解即可，需要时可以通过查表来回忆。

整数表示方式

整数的取值范围取决于变量使用的内存长度，即字节（或比特）数。在计算机中，1 字节 (byte) = 8 比特 (bit)，1 比特即 1 个二进制位。以 int 类型为例：

  1. 整数类型 int 占用 4 bytes = 32 bits ，可以表示 \(2^{32}\) 个不同的数字；
  2. 将最高位视为符号位，\(0\) 代表正数，\(1\) 代表负数，一共可表示 \(2^{31}\) 个正数和 \(2^{31}\) 个负数；
  3. 当所有 bits 为 0 时代表数字 \(0\) ，从零开始增大，可得最大正数为 \(2^{31} - 1\)；
  4. 剩余 \(2^{31}\) 个数字全部用来表示负数，因此最小负数为 \(-2^{31}\) ；具体细节涉及“源码、反码、补码”的相关知识，有兴趣的同学可以查阅学习；

其它整数类型 byte, short, long 的取值范围的计算方法与 int 类似，在此不再赘述。

浮点数表示方式 *

Note

本书中，标题后的 * 符号代表选读章节。如果你觉得理解困难，建议先跳过，等学完必读章节后再单独攻克。

细心的你可能会发现：int 和 float 长度相同，都是 4 bytes，但为什么 float 的取值范围远大于 int ？按理说 float 需要表示小数，取值范围应该变小才对。

实际上，这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。根据 IEEE 754 标准，32-bit 长度的 float 由以下部分构成：

  • 符号位 \(\mathrm{S}\) ：占 1 bit ；
  • 指数位 \(\mathrm{E}\) ：占 8 bits ；
  • 分数位 \(\mathrm{N}\) ：占 24 bits ，其中 23 位显式存储；

设 32-bit 二进制数的第 \(i\) 位为 \(b_i\)，则 float 值的计算方法定义为：

\[ \text { val } = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2 \]

转化到十进制下的计算公式为

\[ \text { val }=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N}) \]

其中各项的取值范围为

\[ \begin{aligned} \mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline (1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}] \end{aligned} \]

IEEE 754 标准下的 float 表示方式

Fig. IEEE 754 标准下的 float 表示方式

以上图为例，\(\mathrm{S} = 0\) ， \(\mathrm{E} = 124\) ，\(\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375\) ，易得

\[ \text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875 \]

现在我们可以回答最初的问题：float 的表示方式包含指数位，导致其取值范围远大于 int 。根据以上计算，float 可表示的最大正数为 \(2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}\) ，切换符号位便可得到最小负数。

尽管浮点数 float 扩展了取值范围，但其副作用是牺牲了精度。整数类型 int 将全部 32 位用于表示数字，数字是均匀分布的；而由于指数位的存在，浮点数 float 的数值越大，相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。

进一步地，指数位 \(E = 0\) 和 \(E = 255\) 具有特殊含义，用于表示零、无穷大、\(\mathrm{NaN}\) 等。

指数位 E 分数位 \(\mathrm{N} = 0\) 分数位 \(\mathrm{N} \ne 0\) 计算公式
\(0\) \(\pm 0\) 次正规数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})\)
\(1, 2, \dots, 254\) 正规数 正规数 \((-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})\)
\(255\) \(\pm \infty\) \(\mathrm{NaN}\)

特别地，次正规数显著提升了浮点数的精度，这是因为：

  • 最小正正规数为 \(2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}\) ；
  • 最小正次正规数为 \(2^{-126} \times 2^{-23} \approx 1.4 \times 10^{-45}\) ；

双精度 double 也采用类似 float 的表示方法，此处不再详述。

基本数据类型与数据结构的关系

我们知道，数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式，它的核心是“结构”，而非“数据”。如果想要表示“一排数字”，我们自然会想到使用「数组」数据结构。数组的存储方式可以表示数字的相邻关系、顺序关系，但至于具体存储的是整数 int 、小数 float 、还是字符 char ，则与“数据结构”无关。换句话说，基本数据类型提供了数据的“内容类型”，而数据结构提供了数据的“组织方式”。

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int[] numbers = new int[5];
float[] decimals = new float[5];
char[] characters = new char[5];
boolean[] booleans = new boolean[5];

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int numbers[5];
float decimals[5];
char characters[5];
bool booleans[5];

""" Python 的 list 可以自由存储各种基本数据类型和对象 """
list = [0, 0.0, 'a', False]

// 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」
var numbers = [5]int{}
var decimals = [5]float64{}
var characters = [5]byte{}
var booleans = [5]bool{}

/* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */
const array = [0, 0.0, 'a', false];

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
const numbers: number[] = [];
const characters: string[] = [];
const booleans: boolean[] = [];

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int numbers[10];
float decimals[10];
char characters[10];
bool booleans[10];

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int[] numbers = new int[5];
float[] decimals = new float[5];
char[] characters = new char[5];
bool[] booleans = new bool[5];

/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5)
let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5)
let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5)
let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5)

3.1.2.   计算机内存

在计算机中，内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据，容量较大（通常可达到 TB 级别）、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据，速度较快，但容量较小（通常为 GB 级别）。

在算法运行过程中，相关数据都存储在内存中。下图展示了一个计算机内存条，其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格，其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据，在算法运行时，所有数据都被存储在这些单元格中。

系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据。计算机根据特定规则为表格中的每个单元格分配编号，确保每个内存空间都有唯一的内存地址。有了这些地址，程序便可以访问内存中的数据。

内存条、内存空间、内存地址

Fig. 内存条、内存空间、内存地址

在数据结构与算法的设计中，内存资源是一个重要的考虑因素。内存是所有程序的共享资源，当内存被某个程序占用时，其他程序无法同时使用。我们需要根据剩余内存资源的实际情况来设计算法。例如，算法所占用的内存峰值不应超过系统剩余空闲内存；如果运行的程序很多并且缺少大量连续的内存空间，那么所选用的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。

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