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8.3.   二叉树数组表示

在链表表示下，二叉树的存储单元为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。在上节中，我们学习了在链表表示下的二叉树的各项基本操作。

那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。

8.3.1.   表示完美二叉树

先分析一个简单案例，给定一个完美二叉树，我们将节点按照层序遍历的顺序编号（从 \(0\) 开始），此时每个节点都对应唯一的索引。

根据层序遍历的特性，我们可以推导出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。

完美二叉树的数组表示

Fig. 完美二叉树的数组表示

映射公式的作用相当于链表中的指针。如果我们将节点按照层序遍历的顺序存储在一个数组中，那么对于数组中的任意节点，我们都可以通过映射公式来访问其子节点。

8.3.2.   表示任意二叉树

然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 \(\text{null}\) ，而层序遍历序列并不包含这些 \(\text{null}\) 。我们无法仅凭该序列来推测 \(\text{null}\) 的数量和分布位置，这意味着存在多种二叉树结构都符合该层序遍历序列。显然在这种情况下，上述的数组表示方法已经失效。

层序遍历序列对应多种二叉树可能性

Fig. 层序遍历序列对应多种二叉树可能性

为了解决此问题，我们可以考虑在层序遍历序列中显式地写出所有 \(\text{null}\)。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };

# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];



/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]

任意类型二叉树的数组表示

Fig. 任意类型二叉树的数组表示

8.3.3.   优势与局限性

二叉树的数组表示存在以下优点：

  • 数组存储在连续的内存空间中，缓存友好，访问与遍历速度较快；
  • 不需要存储指针，比较节省空间；
  • 允许随机访问节点；

然而，数组表示也具有一些局限性：

  • 数组存储需要连续内存空间，因此不适合存储数据量过大的树。
  • 增删节点需要通过数组插入与删除操作实现，效率较低；
  • 当二叉树中存在大量 \(\text{null}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，空间利用率较低。

完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾完全二叉树的定义，\(\text{null}\) 只出现在最底层且靠右的位置，这意味着所有 \(\text{null}\) 一定出现在层序遍历序列的末尾。因此，在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储所有 \(\text{null}\) 。

完全二叉树的数组表示

Fig. 完全二叉树的数组表示

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