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9.1. 图

「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可将图 \(G\) 抽象地表示为一组顶点 \(V\) 和一组边 \(E\) 的集合。例如，以下表示一个包含 5 个顶点和 7 条边的图

\[ \begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline G & = \{ V, E \} \newline \end{aligned} \]

linkedlist_tree_graph

那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作结点，把「边」看作连接各个结点的指针，则可将「图」看成一种从「链表」拓展而来的数据结构。相比线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，也从而更为复杂。

9.1.1. 图常见类型

根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。

  • 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
  • 在有向图中，边是有方向的，即 \(A \rightarrow B\) 和 \(A \leftarrow B\) 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；

directed_graph

根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。

  • 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
  • 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；

connected_graph

我们可以给边添加“权重”变量，得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等游戏中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以使用有权图来表示。

weighted_graph

9.1.2. 图常用术语

  • 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间有边相连时，称此两顶点“邻接”。
  • 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 走过的边构成的序列，被称为从 A 到 B 的“路径”。
  • 「度 Degree」表示一个顶点具有多少条边。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。

9.1.3. 图的表示

图的常用表示方法有「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用「无向图」来举例。

邻接矩阵

设图的顶点数量为 \(n\) ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 \(n \times n\) 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 \(1\) 或 \(0\) 来表示两个顶点之间有边或无边。

如下图所示，记邻接矩阵为 \(M\) 、顶点列表为 \(V\) ，则矩阵元素 \(M[i][j] = 1\) 代表着顶点 \(V[i]\) 到顶点 \(V[j]\) 之间有边，相反地 \(M[i][j] = 0\) 代表两顶点之间无边。

adjacency_matrix

邻接矩阵具有以下性质：

  • 顶点不能与自身相连，因而邻接矩阵主对角线元素没有意义。
  • 「无向图」两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
  • 将邻接矩阵的元素从 \(1\) , \(0\) 替换为权重，则能够表示「有权图」。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接通过访问矩阵元素来获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 \(O(1)\) 。然而，矩阵的空间复杂度为 \(O(n^2)\) ，内存占用较大。

邻接表

「邻接表 Adjacency List」使用 \(n\) 个链表来表示图，链表结点表示顶点。第 \(i\) 条链表对应顶点 \(i\) ，其中存储了所有与该顶点相连的顶点。

adjacency_list

邻接表仅存储存在的边，而边的总数往往远小于 \(n^2\) ，因此更加节省空间。但是，因为在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，所以其时间效率不如邻接矩阵。

观察上图发现，邻接表结构与哈希表「链地址法」非常相似，因此我们也可以用类似方法来优化效率。比如，当链表较长时，可以把链表转化为「AVL 树」，从而将时间效率从 \(O(n)\) 优化至 \(O(\log n)\) ，还可以通过中序遍历获取有序序列；还可以将链表转化为 HashSet（即哈希表），将时间复杂度降低至 \(O(1)\) 。

9.1.4. 图常见应用

现实中的许多系统都可以使用图来建模，对应的待求解问题也可以被约化为图计算问题。

顶点 边 图计算问题
社交网络 用户 好友关系 潜在好友推荐
地铁线路 站点 站点间的连通性 最短路线推荐
太阳系 星体 星体间的万有引力作用 行星轨道计算

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