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14.6.   编辑距离问题

编辑距离，也被称为 Levenshtein 距离，是两个字符串之间互相转换的最小修改次数，通常用于在信息检索和自然语言处理中度量两个序列的相似度。

Question

输入两个字符串 \(s\) 和 \(t\) ，返回将 \(s\) 转换为 \(t\) 所需的最少编辑步数。

你可以在一个字符串中进行三种编辑操作：插入一个字符、删除一个字符、替换字符为任意一个字符。

如下图所示，将 kitten 转换为 sitting 需要编辑 3 步，包括 2 次替换操作与 1 次添加操作；将 hello 转换为 algo 需要 3 步，包括 2 次替换操作和 1 次删除操作。

编辑距离的示例数据

Fig. 编辑距离的示例数据

编辑距离问题可以很自然地用决策树模型来解释。字符串对应树节点，一轮决策（一次编辑操作）对应树的一条边。

如下图所示，在不限制操作的情况下，每个节点都可以派生出许多条边，每条边对应一种操作。实际上，从 hello 转换到 algo 有许多种可能的路径，下图展示的是最短路径。从决策树的角度看，本题目标是求解节点 hello 和节点 algo 之间的最短路径。

基于决策树模型表示编辑距离问题

Fig. 基于决策树模型表示编辑距离问题

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 \(dp\) 表

每一轮的决策是对字符串 \(s\) 进行一次编辑操作。

我们希望在编辑操作的过程中，问题的规模逐渐缩小，这样才能构建子问题。设字符串 \(s\) 和 \(t\) 的长度分别为 \(n\) 和 \(m\) ，我们先考虑两字符串尾部的字符 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) ：

  • 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 相同，我们可以直接跳过它们，接下来考虑 \(s[n-2]\) 和 \(t[m-2]\) ;
  • 若 \(s[n-1]\) 和 \(t[m-1]\) 不同，我们需要对 \(s\) 进行一次编辑（插入、删除、替换），使得两字符串尾部的字符相同，从而可以跳过它们，考虑规模更小的问题；

也就是说，我们在字符串 \(s\) 中进行的每一轮决策（编辑操作），都会使得 \(s\) 和 \(t\) 中剩余的待匹配字符发生变化。因此，状态为当前在 \(s\) , \(t\) 中考虑的第 \(i\) , \(j\) 个字符，记为 \([i, j]\) 。

状态 \([i, j]\) 对应的子问题：将 \(s\) 的前 \(i\) 个字符更改为 \(t\) 的前 \(j\) 个字符所需的最少编辑步数。

至此得到一个尺寸为 \((i+1) \times (j+1)\) 的二维 \(dp\) 表。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

考虑子问题 \(dp[i, j]\) ，其对应的两个字符串的尾部字符为 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) ，可根据不同编辑操作分为三种情况：

  1. 在 \(s[i-1]\) 之后添加 \(t[j-1]\) ，则剩余子问题 \(dp[i, j-1]\) ；
  2. 删除 \(s[i-1]\) ，则剩余子问题 \(dp[i-1, j]\) ；
  3. 将 \(s[i-1]\) 替换为 \(t[j-1]\) ，则剩余子问题 \(dp[i-1, j-1]\) ；

编辑距离的状态转移

Fig. 编辑距离的状态转移

根据以上分析，可得最优子结构：\(dp[i, j]\) 的最少编辑步数等于 \(dp[i, j-1]\) , \(dp[i-1, j]\) , \(dp[i-1, j-1]\) 三者中的最少编辑步数，再加上本次编辑的步数 \(1\) 。对应的状态转移方程为：

\[ dp[i, j] = \min(dp[i, j-1], dp[i-1, j], dp[i-1, j-1]) + 1 \]

请注意，当 \(s[i-1]\) 和 \(t[j-1]\) 相同时，无需编辑当前字符，此时状态转移方程为：

\[ dp[i, j] = dp[i-1, j-1] \]

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

当两字符串都为空时，编辑步数为 \(0\) ，即 \(dp[0, 0] = 0\) 。当 \(s\) 为空但 \(t\) 不为空时，最少编辑步数等于 \(t\) 的长度，即 \(dp[0, j] = j\) 。当 \(s\) 不为空但 \(t\) 为空时，等于 \(s\) 的长度，即 \(dp[i, 0] = i\) 。

观察状态转移方程，解 \(dp[i, j]\) 依赖左方、上方、左上方的解，因此通过两层循环正序遍历整个 \(dp\) 表即可。

edit_distance.java
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[][] dp = new int[n + 1][m + 1];
    // 状态转移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = Math.min(Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.cpp
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(m + 1, 0));
    // 状态转移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i][0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0][j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = min(min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n][m];
}
edit_distance.py
def edit_distance_dp(s: str, t: str) -> int:
    """编辑距离：动态规划"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
    # 状态转移：首行首列
    for i in range(1, n + 1):
        dp[i][0] = i
    for j in range(1, m + 1):
        dp[0][j] = j
    # 状态转移：其余行列
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
            else:
                # 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + 1
    return dp[n][m]
edit_distance.go
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.js
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.ts
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.c
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.cs
/* 编辑距离：动态规划 */
int editDistanceDP(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[,] dp = new int[n + 1, m + 1];
    // 状态转移：首行首列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        dp[i, 0] = i;
    }
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[0, j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行列
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[i, j] = dp[i - 1, j - 1];
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[i, j] = Math.Min(Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]), dp[i - 1, j - 1]) + 1;
            }
        }
    }
    return dp[n, m];
}
edit_distance.swift
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.zig
[class]{}-[func]{editDistanceDP}
edit_distance.dart
[class]{}-[func]{editDistanceDP}

如下图所示，编辑距离问题的状态转移过程与背包问题非常类似，都可以看作是填写一个二维网格的过程。

编辑距离的动态规划过程

edit_distance_dp_step2

edit_distance_dp_step3

edit_distance_dp_step4

edit_distance_dp_step5

edit_distance_dp_step6

edit_distance_dp_step7

edit_distance_dp_step8

edit_distance_dp_step9

edit_distance_dp_step10

edit_distance_dp_step11

edit_distance_dp_step12

edit_distance_dp_step13

edit_distance_dp_step14

edit_distance_dp_step15

下面考虑状态压缩，将 \(dp\) 表的第一维删除。由于 \(dp[i,j]\) 是由上方 \(dp[i-1, j]\) 、左方 \(dp[i, j-1]\) 、左上方状态 \(dp[i-1, j-1]\) 转移而来，而正序遍历会丢失左上方 \(dp[i-1, j-1]\) ，倒序遍历无法提前构建 \(dp[i, j-1]\) ，因此两种遍历顺序都不可取。

为解决此问题，我们可以使用一个变量 leftup 来暂存左上方的解 \(dp[i-1, j-1]\) ，这样便只用考虑左方和上方的解，与完全背包问题的情况相同，可使用正序遍历。

edit_distance.java
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
int editDistanceDPComp(String s, String t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    int[] dp = new int[m + 1];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 状态转移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s.charAt(i - 1) == t.charAt(j - 1)) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[j] = Math.min(Math.min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.cpp
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.length(), m = t.length();
    vector<int> dp(m + 1, 0);
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 状态转移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[j] = min(min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.py
def edit_distance_dp_comp(s: str, t: str) -> int:
    """编辑距离：状态压缩后的动态规划"""
    n, m = len(s), len(t)
    dp = [0] * (m + 1)
    # 状态转移：首行
    for j in range(1, m + 1):
        dp[j] = j
    # 状态转移：其余行
    for i in range(1, n + 1):
        # 状态转移：首列
        leftup = dp[0]  # 暂存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] += 1
        # 状态转移：其余列
        for j in range(1, m + 1):
            temp = dp[j]
            if s[i - 1] == t[j - 1]:
                # 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[j] = leftup
            else:
                # 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j], leftup) + 1
            leftup = temp  # 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
    return dp[m]
edit_distance.go
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.js
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.ts
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.c
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.cs
/* 编辑距离：状态压缩后的动态规划 */
int editDistanceDPComp(string s, string t) {
    int n = s.Length, m = t.Length;
    int[] dp = new int[m + 1];
    // 状态转移：首行
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
        dp[j] = j;
    }
    // 状态转移：其余行
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        // 状态转移：首列
        int leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1]
        dp[0] = i;
        // 状态转移：其余列
        for (int j = 1; j <= m; j++) {
            int temp = dp[j];
            if (s[i - 1] == t[j - 1]) {
                // 若两字符相等，则直接跳过此两字符
                dp[j] = leftup;
            } else {
                // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1
                dp[j] = Math.Min(Math.Min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1;
            }
            leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1]
        }
    }
    return dp[m];
}
edit_distance.swift
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.zig
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}
edit_distance.dart
[class]{}-[func]{editDistanceDPComp}

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