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7.1.   二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含一个「值」和两个「指针」。

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;         // 节点值
    TreeNode left;   // 左子节点指针
    TreeNode right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

/* 二叉树节点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode *left;   // 左子节点指针
    TreeNode *right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};

class TreeNode:
    """二叉树节点类"""
    def __init__(self, val: int):
        self.val: int = val                   # 节点值
        self.left: Optional[TreeNode] = None  # 左子节点指针
        self.right: Optional[TreeNode] = None # 右子节点指针

/* 二叉树节点结构体 */
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
/* 节点初始化方法 */
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil,
        Right: nil,
        Val:   v,
    }
}

/* 二叉树节点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
    this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 节点值
    this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子节点指针
    this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子节点指针
}

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点指针
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点指针
    }
}



/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    int val;          // 节点值
    TreeNode? left;   // 左子节点指针
    TreeNode? right;  // 右子节点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}

/* 二叉树节点类 */
class TreeNode {
    var val: Int // 节点值
    var left: TreeNode? // 左子节点指针
    var right: TreeNode? // 右子节点指针

    init(x: Int) {
        val = x
    }
}

节点的两个指针分别指向「左子节点」和「右子节点」，同时该节点被称为这两个子节点的「父节点」。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的「左子树」，同理可得「右子树」。

在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树。例如，在以下示例中，若将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

父节点、子节点、子树

Fig. 父节点、子节点、子树

7.1.1.   二叉树常见术语

二叉树涉及的术语较多，建议尽量理解并记住。

  • 「根节点 Root Node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点；
  • 「叶节点 Leaf Node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向 \(\text{null}\) ；
  • 节点的「层 Level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 ；
  • 节点的「度 Degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
  • 「边 Edge」：连接两个节点的线段，即节点指针；
  • 二叉树的「高度」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量；
  • 节点的「深度 Depth」 ：从根节点到该节点所经过的边的数量；
  • 节点的「高度 Height」：从最远叶节点到该节点所经过的边的数量；

二叉树的常用术语

Fig. 二叉树的常用术语

高度与深度的定义

请注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“走过节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

7.1.2.   二叉树基本操作

初始化二叉树。与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用指向（即指针）。

binary_tree.java
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.cpp
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
binary_tree.py
# 初始化二叉树
# 初始化节点
n1 = TreeNode(val=1)
n2 = TreeNode(val=2)
n3 = TreeNode(val=3)
n4 = TreeNode(val=4)
n5 = TreeNode(val=5)
# 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.go
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
binary_tree.js
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.ts
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.c
binary_tree.cs
/* 初始化二叉树 */
// 初始化节点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
binary_tree.swift
// 初始化节点
let n1 = TreeNode(x: 1)
let n2 = TreeNode(x: 2)
let n3 = TreeNode(x: 3)
let n4 = TreeNode(x: 4)
let n5 = TreeNode(x: 5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2
n1.right = n3
n2.left = n4
n2.right = n5
binary_tree.zig

插入与删除节点。与链表类似，通过修改指针来实现插入与删除节点。

在二叉树中插入与删除节点

Fig. 在二叉树中插入与删除节点

binary_tree.java
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.cpp
/* 插入与删除节点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除节点 P
n1->left = n2;
binary_tree.py
# 插入与删除节点
p = TreeNode(0)
# 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = p
p.left = n2
# 删除节点 P
n1.left = n2
binary_tree.go
/* 插入与删除节点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除节点 P
n1.Left = n2
binary_tree.js
/* 插入与删除节点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.ts
/* 插入与删除节点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.c
binary_tree.cs
/* 插入与删除节点 */
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除节点 P
n1.left = n2;
binary_tree.swift
let P = TreeNode(x: 0)
// 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
n1.left = P
P.left = n2
// 删除节点 P
n1.left = n2
binary_tree.zig

Note

需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除操作通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

7.1.3.   常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」除了最底层外，其余所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 \(0\) ，其余所有节点的度都为 \(2\) ；若树高度为 \(h\) ，则节点总数为 \(2^{h+1} - 1\) ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

Tip

在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意区分。

完美二叉树

Fig. 完美二叉树

完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

完全二叉树

Fig. 完全二叉树

完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

完满二叉树

Fig. 完满二叉树

平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

平衡二叉树

Fig. 平衡二叉树

7.1.4.   二叉树的退化

当二叉树的每层节点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为「链表」。

  • 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势；
  • 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 \(O(n)\) ；

二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况

Fig. 二叉树的最佳与最二叉树的最佳和最差结构差情况

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大或极小值。

完美二叉树 链表
第 \(i\) 层的节点数量 \(2^{i-1}\) \(1\)
树的高度为 \(h\) 时的叶节点数量 \(2^h\) \(1\)
树的高度为 \(h\) 时的节点总数 \(2^{h+1} - 1\) \(h + 1\)
树的节点总数为 \(n\) 时的高度 \(\log_2 (n+1) - 1\) \(n - 1\)

7.1.5.   二叉树表示方式 *

我们通常使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为节点 TreeNode ，节点之间通过指针相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。

那么，能否用「数组」来表示二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将节点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父节点索引与子节点索引之间的“映射公式”：若节点的索引为 \(i\) ，则该节点的左子节点索引为 \(2i + 1\) ，右子节点索引为 \(2i + 2\) 。

本质上，映射公式的作用相当于链表中的指针。对于层序遍历序列中的任意节点，我们都可以使用映射公式来访问其子节点。因此，我们可以将二叉树的层序遍历序列存储到数组中，利用以上映射公式来表示二叉树。

完美二叉树的数组表示

Fig. 完美二叉树的数组表示

然而，完美二叉树只是一个特例。在二叉树的中间层，通常存在许多 \(\text{null}\) ，而层序遍历序列并不包含这些 \(\text{null}\) 。我们无法仅凭序列来推测空节点的数量和分布位置，这意味着理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列。显然，在这种情况下，我们无法使用数组来存储二叉树。

给定数组对应多种二叉树可能性

Fig. 给定数组对应多种二叉树可能性

为了解决这个问题，我们可以考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，并在序列中使用特殊符号来显式地表示 \(\text{null}\)。如下图所示，这样处理后，层序遍历序列就可以唯一表示二叉树了。

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
// 该方法的使用前提是没有节点的值 = INT_MAX
vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };

# 二叉树的数组表示
# 直接使用 None 来表示空位
tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 any 类型的切片, 就可以使用 nil 来标记空位
tree := []any{1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15}

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];

/* 二叉树的数组表示 */
// 直接使用 null 来表示空位
let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];



/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };

/* 二叉树的数组表示 */
// 使用 Int? 可空类型 ，就可以使用 nil 来标记空位
let tree: [Int?] = [1, 2, 3, 4, nil, 6, 7, 8, 9, nil, nil, 12, nil, nil, 15]

任意类型二叉树的数组表示

Fig. 任意类型二叉树的数组表示

完全二叉树非常适合使用数组来表示。回顾「完全二叉树」的定义，\(\text{null}\) 只出现在最底层，并且最底层的节点尽量靠左。这意味着，所有空节点一定出现在层序遍历序列的末尾。由于我们事先知道了所有 \(\text{null}\) 的位置，因此在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储它们。

完全二叉树的数组表示

Fig. 完全二叉树的数组表示

数组表示具有两个显著优点：首先，它不需要存储指针，从而节省了空间；其次，它允许随机访问节点。然而，当二叉树中存在大量 \(\text{null}\) 时，数组中包含的节点数据比重较低，导致有效空间利用率降低。

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