# 最大容量问题

!!! question

    输入一个数组 $ht$ ，数组中的每个元素代表一个垂直隔板的高度。数组中的任意两个隔板，以及它们之间的空间可以组成一个容器。
    
    容器的容量等于高度和宽度的乘积（即面积），其中高度由较短的隔板决定，宽度是两个隔板的数组索引之差。
    
    请在数组中选择两个隔板，使得组成的容器的容量最大，返回最大容量。

![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)

容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。

根据题意，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，则可得计算公式：

$$
cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i)
$$

设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

### 贪心策略确定

这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、$j$ 为长板。

![初始状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png)

如下图所示，**若此时将长板 $j$ 向短板 $i$ 靠近，则容量一定变小**。

这是因为在移动长板 $j$ 后，宽度 $j-i$ 肯定变小；而高度由短板决定，因此高度只可能不变（ $i$ 仍为短板）或变小（移动后的 $j$ 成为短板）。

![向内移动长板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png)

反向思考，**我们只有向内收缩短板 $i$ ，才有可能使容量变大**。因为虽然宽度一定变小，**但高度可能会变大**（移动后的短板 $i$ 可能会变长）。例如在下图中，移动短板后面积变大。

![向内移动短板后的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png)

由此便可推出本题的贪心策略：初始化两指针分裂容器两端，每轮向内收缩短板对应的指针，直至两指针相遇。

下图展示了贪心策略的执行过程。

1. 初始状态下，指针 $i$ 和 $j$ 分列与数组两端。
2. 计算当前状态的容量 $cap[i, j]$ ，并更新最大容量。
3. 比较板 $i$ 和 板 $j$ 的高度，并将短板向内移动一格。
4. 循环执行第 `2.` 和 `3.` 步，直至 $i$ 和 $j$ 相遇时结束。

=== "<1>"
    ![最大容量问题的贪心过程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png)

=== "<2>"
    ![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png)

=== "<3>"
    ![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png)

=== "<4>"
    ![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png)

=== "<5>"
    ![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png)

=== "<6>"
    ![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png)

=== "<7>"
    ![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png)

=== "<8>"
    ![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png)

=== "<9>"
    ![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png)

### 代码实现

代码循环最多 $n$ 轮，**因此时间复杂度为 $O(n)$** 。

变量 $i$、$j$、$res$ 使用常数大小额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。

```src
[file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity}
```

### 正确性证明

之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

比如在状态 $cap[i, j]$ 下，$i$ 为短板、$j$ 为长板。若贪心地将短板 $i$ 向内移动一格，会导致下图所示的状态被“跳过”。**这意味着之后无法验证这些状态的容量大小**。

$$
cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1]
$$

![移动短板导致被跳过的状态](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png)

观察发现，**这些被跳过的状态实际上就是将长板 $j$ 向内移动的所有状态**。而在第二步中，我们已经证明内移长板一定会导致容量变小。也就是说，被跳过的状态都不可能是最优解，**跳过它们不会导致错过最优解**。

以上的分析说明，**移动短板的操作是“安全”的**，贪心策略是有效的。