13.3. 动态规划解题思路¶
上两节介绍了动态规划问题的主要特征，接下来我们一起探究两个更加实用的问题：
- 如何判断一个问题是不是动态规划问题？
- 求解动态规划问题该从何处入手，完整步骤是什么？
13.3.1. 问题判断¶
总的来说，如果一个问题包含重叠子问题、最优子结构，并满足无后效性，那么它通常就适合用动态规划求解，但我们很难从问题描述上直接提取出这些特性。因此我们通常会放宽条件，先观察问题是否适合使用回溯（穷举）解决。
适合用回溯解决的问题通常满足“决策树模型”，这种问题可以使用树形结构来描述，其中每一个节点代表一个决策，每一条路径代表一个决策序列。
换句话说，如果问题包含明确的决策概念，并且解是通过一系列决策产生的，那么它就满足决策树模型，通常可以使用回溯来解决。
在此基础上，还有一些判断问题是动态规划问题的“加分项”，包括：
- 问题包含最大（小）或最多（少）等最优化描述；
- 问题的状态能够使用一个列表、多维矩阵或树来表示，并且一个状态与其周围的状态存在某种递推关系；
而相应的“减分项”包括：
- 问题的目标是找出所有可能的解决方案，而不是找出最优解。
- 问题描述中有明显的排列组合的特征，需要返回具体的多个方案。
如果一个问题满足决策树模型，并具有较为明显的“加分项“，我们就可以假设它是一个动态规划问题，并尝试求解它。
13.3.2. 问题求解¶
动态规划的解题流程可能会因问题的性质和难度而有所不同，但通常遵循以下步骤：描述决策，定义状态，建立 \(dp\) 表，推导状态转移方程，确定边界条件等。
为了更形象地展示解题步骤，我们使用一个经典问题「最小路径和」来举例。
Question
给定一个 \(n \times m\) 的二维网格 grid ，网格中的每个单元格包含一个非负整数，表示该单元格的代价。机器人以左上角单元格为起始点，每次只能向下或者向右移动一步，直至到达右下角单元格。请返回从左上角到右下角的最小路径和。
例如以下示例数据，给定网格的最小路径和为 \(13\) 。
Fig. 最小路径和示例数据
第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 \(dp\) 表
本题的每一轮的决策就是从当前格子向下或向右一步。设当前格子的行列索引为 \([i, j]\) ，则向下或向右走一步后，索引变为 \([i+1, j]\) 或 \([i, j+1]\) 。因此，状态应包含行索引和列索引两个变量，记为 \([i, j]\) 。
状态 \([i, j]\) 对应的子问题为：从起始点 \([0, 0]\) 走到 \([i, j]\) 的最小路径和，解记为 \(dp[i, j]\) 。
至此，我们就得到了一个二维 \(dp\) 矩阵，其尺寸与输入网格 \(grid\) 相同。
Fig. 状态定义与 dp 表
Note
动态规划和回溯通常都会被描述为一个决策序列，而状态通常由所有决策变量构成。它应当包含描述解题进度的所有变量，其包含了足够的信息，能够用来推导出下一个状态。
每个状态都对应一个子问题，我们会定义一个 \(dp\) 表来存储所有子问题的解，状态的每个独立变量都是 \(dp\) 表的一个维度。本质上看，\(dp\) 表是子问题的解和状态之间的映射。
第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程
对于状态 \([i, j]\) ，它只能从上边格子 \([i-1, j]\) 和左边格子 \([i, j-1]\) 转移而来。因此最优子结构为：到达 \([i, j]\) 的最小路径和由 \([i, j-1]\) 的最小路径和与 \([i-1, j]\) 的最小路径和，这两者较小的那一个决定。
根据以上分析，可推出以下状态转移方程：
Fig. 最优子结构与状态转移方程
Note
基于定义好的 \(dp\) 表，我们思考原问题和子问题的关系，找出如何通过子问题的解来构造原问题的解。
最优子结构揭示了原问题和子问题的递推关系，一旦我们找到了最优子结构，就可以使用它来构建出状态转移方程。
第三步：确定边界条件和状态转移顺序
在本题中，当 \(i=0\) 或 \(j=0\) 时只有一种可能的路径，即只能向右移动或只能向下移动，因此首行和首列是边界条件。
每个格子是由其左方格子和上方格子转移而来，因此我们使用两层循环来遍历矩阵即可，即外循环正序遍历各行、内循环正序遍历各列。
Fig. 边界条件与状态转移顺序
Note
边界条件即初始状态，在搜索中用于剪枝，在动态规划中用于初始化 \(dp\) 表。状态转移顺序的核心是要保证在计算当前问题时，所有它依赖的更小子问题都已经被正确地计算出来。
接下来，我们就可以实现动态规划代码了。然而，由于子问题分解是一种从顶至底的思想，因此按照“暴力搜索 \(\rightarrow\) 记忆化搜索 \(\rightarrow\) 动态规划”的顺序实现更加符合思维习惯。
13.3.3. 方法一：暴力搜索¶
从状态 \([i, j]\) 开始搜索，不断分解为更小的状态 \([i-1, j]\) 和 \([i, j-1]\) ，包括以下递归要素：
- 递归参数：状态 \([i, j]\) ；返回值：从 \([0, 0]\) 到 \([i, j]\) 的最小路径和 \(dp[i, j]\) ；
- 终止条件：当 \(i = 0\) 且 \(j = 0\) 时，返回代价 \(grid[0, 0]\) ；
- 剪枝：当 \(i < 0\) 时或 \(j < 0\) 时索引越界，此时返回代价 \(+\infty\) ，代表不可行；
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return Math.min(left, up) + grid[i][j];
}
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(vector<vector<int>> &grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return INT_MAX;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
}
def min_path_sum_dfs(grid: list[list[int]], i: int, j: int) -> int:
"""最小路径和：暴力搜索"""
# 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 and j == 0:
return grid[0][0]
# 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 or j < 0:
return inf
# 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
left = min_path_sum_dfs(grid, i - 1, j)
up = min_path_sum_dfs(grid, i, j - 1)
# 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return min(left, up) + grid[i][j]
/* 最小路径和：暴力搜索 */
int minPathSumDFS(int[][] grid, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0){
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return int.MaxValue;
}
// 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价
int left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j);
int up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1);
// 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价
return Math.Min(left, up) + grid[i][j];
}
我们尝试画出以 \(dp[2, 1]\) 为根节点的递归树。观察下图，递归树包含一些重叠子问题，其数量会随着网格 grid 的尺寸变大而急剧增多。
直观上看，存在多条路径可以从左上角到达同一单元格，这便是该问题存在重叠子问题的内在原因。
Fig. 暴力搜索递归树
每个状态都有向下和向右两种选择，从左上角走到右下角总共需要 \(m + n - 2\) 步，所以最差时间复杂度为 \(O(2^{m + n})\) 。请注意，这种计算方式未考虑临近网格边界的情况，当到达网络边界时只剩下一种选择。因此实际的路径数量会少一些。
13.3.4. 方法二：记忆化搜索¶
为了避免重复计算重叠子问题，我们引入一个和网格 grid 相同尺寸的记忆列表 mem ，用于记录各个子问题的解，提升搜索效率。
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return Integer.MAX_VALUE;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = Math.min(left, up) + grid[i][j];
return mem[i][j];
}
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(vector<vector<int>> &grid, vector<vector<int>> &mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return INT_MAX;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = min(left, up) != INT_MAX ? min(left, up) + grid[i][j] : INT_MAX;
return mem[i][j];
}
def min_path_sum_dfs_mem(
grid: list[list[int]], mem: list[list[int]], i: int, j: int
) -> int:
"""最小路径和：记忆化搜索"""
# 若为左上角单元格，则终止搜索
if i == 0 and j == 0:
return grid[0][0]
# 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if i < 0 or j < 0:
return inf
# 若已有记录，则直接返回
if mem[i][j] != -1:
return mem[i][j]
# 左边和上边单元格的最小路径代价
left = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i - 1, j)
up = min_path_sum_dfs_mem(grid, mem, i, j - 1)
# 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = min(left, up) + grid[i][j]
return mem[i][j]
/* 最小路径和：记忆化搜索 */
int minPathSumDFSMem(int[][] grid, int[][] mem, int i, int j) {
// 若为左上角单元格，则终止搜索
if (i == 0 && j == 0) {
return grid[0][0];
}
// 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价
if (i < 0 || j < 0) {
return int.MaxValue;
}
// 若已有记录，则直接返回
if (mem[i][j] != -1) {
return mem[i][j];
}
// 左边和上边单元格的最小路径代价
int left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j);
int up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1);
// 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价
mem[i][j] = Math.Min(left, up) + grid[i][j];
return mem[i][j];
}
如下图所示，引入记忆化可以消除所有重复计算，时间复杂度取决于状态总数，即网格尺寸 \(O(nm)\) 。
Fig. 记忆化搜索递归树
13.3.5. 方法三：动态规划¶
动态规划代码是从底至顶的，仅需循环即可实现。
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(int[][] grid) {
int n = grid.length, m = grid[0].length;
// 初始化 dp 表
int[][] dp = new int[n][m];
dp[0][0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(vector<vector<int>> &grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
// 初始化 dp 表
vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(m));
dp[0][0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1][m - 1];
}
def min_path_sum_dp(grid: list[list[int]]) -> int:
"""最小路径和：动态规划"""
n, m = len(grid), len(grid[0])
# 初始化 dp 表
dp = [[0] * m for _ in range(n)]
dp[0][0] = grid[0][0]
# 状态转移：首行
for j in range(1, m):
dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]
# 状态转移：首列
for i in range(1, n):
dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]
# 状态转移：其余行列
for i in range(1, n):
for j in range(1, m):
dp[i][j] = min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]
return dp[n - 1][m - 1]
/* 最小路径和：动态规划 */
int minPathSumDP(int[][] grid) {
int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
// 初始化 dp 表
int[,] dp = new int[n, m];
dp[0, 0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[0, j] = dp[0, j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：首列
for (int i = 1; i < n; i++) {
dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + grid[i][0];
}
// 状态转移：其余行列
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[i, j] = Math.Min(dp[i, j - 1], dp[i - 1, j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[n - 1, m - 1];
}
下图展示了最小路径和的状态转移过程。该过程遍历了整个网格，因此时间复杂度为 \(O(nm)\) ；数组 dp 使用 \(O(nm)\) 空间。
如果希望进一步节省空间使用，可以考虑进行状态压缩。每个格子只与左边和上边的格子有关，因此我们可以只用一个单行数组来实现 \(dp\) 表。
由于数组 dp 只能表示一行的状态，因此我们无法提前初始化首列状态，而是在遍历每行中更新它。
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
int n = grid.length, m = grid[0].length;
// 初始化 dp 表
int[] dp = new int[m];
// 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0];
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = Math.min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(vector<vector<int>> &grid) {
int n = grid.size(), m = grid[0].size();
// 初始化 dp 表
vector<int> dp(m);
// 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0];
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}
def min_path_sum_dp_comp(grid: list[list[int]]) -> int:
"""最小路径和：状态压缩后的动态规划"""
n, m = len(grid), len(grid[0])
# 初始化 dp 表
dp = [0] * m
# 状态转移：首行
dp[0] = grid[0][0]
for j in range(1, m):
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]
# 状态转移：其余行
for i in range(1, n):
# 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0]
# 状态转移：其余列
for j in range(1, m):
dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]
return dp[m - 1]
/* 最小路径和：状态压缩后的动态规划 */
int minPathSumDPComp(int[][] grid) {
int n = grid.Length, m = grid[0].Length;
// 初始化 dp 表
int[] dp = new int[m];
dp[0] = grid[0][0];
// 状态转移：首行
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j];
}
// 状态转移：其余行
for (int i = 1; i < n; i++) {
// 状态转移：首列
dp[0] = dp[0] + grid[i][0];
// 状态转移：其余列
for (int j = 1; j < m; j++) {
dp[j] = Math.Min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j];
}
}
return dp[m - 1];
}