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# 12.4 河內塔問題
在合併排序和構建二元樹中，我們都是將原問題分解為兩個規模為原問題一半的子問題。然而對於河內塔問題，我們採用不同的分解策略。
!!! question
給定三根柱子，記為 `A`、`B` 和 `C` 。起始狀態下，柱子 `A` 上套著 $n$ 個圓盤，它們從上到下按照從小到大的順序排列。我們的任務是要把這 $n$ 個圓盤移到柱子 `C` 上，並保持它們的原有順序不變（如圖 12-10 所示）。在移動圓盤的過程中，需要遵守以下規則。
1. 圓盤只能從一根柱子頂部拿出，從另一根柱子頂部放入。
2. 每次只能移動一個圓盤。
3. 小圓盤必須時刻位於大圓盤之上。
{ class="animation-figure" }
圖 12-10 河內塔問題示例
**我們將規模為 $i$ 的河內塔問題記作 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表將 $3$ 個圓盤從 `A` 移動至 `C` 的河內塔問題。
### 1. 考慮基本情況
如圖 12-11 所示，對於問題 $f(1)$ ，即當只有一個圓盤時，我們將它直接從 `A` 移動至 `C` 即可。
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
圖 12-11 規模為 1 的問題的解
如圖 12-12 所示，對於問題 $f(2)$ ，即當有兩個圓盤時，**由於要時刻滿足小圓盤在大圓盤之上，因此需要藉助 `B` 來完成移動**。
1. 先將上面的小圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 再將大圓盤從 `A` 移至 `C` 。
3. 最後將小圓盤從 `B` 移至 `C` 。
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
=== "<3>"
{ class="animation-figure" }
=== "<4>"
{ class="animation-figure" }
圖 12-12 規模為 2 的問題的解
解決問題 $f(2)$ 的過程可總結為：**將兩個圓盤藉助 `B` 從 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 稱為目標柱、`B` 稱為緩衝柱。
### 2. 子問題分解
對於問題 $f(3)$ ，即當有三個圓盤時，情況變得稍微複雜了一些。
因為已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我們可從分治角度思考，**將 `A` 頂部的兩個圓盤看作一個整體**，執行圖 12-13 所示的步驟。這樣三個圓盤就被順利地從 `A` 移至 `C` 了。
1. 令 `B` 為目標柱、`C` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `A` 移至 `B` 。
2. 將 `A` 中剩餘的一個圓盤從 `A` 直接移動至 `C` 。
3. 令 `C` 為目標柱、`A` 為緩衝柱，將兩個圓盤從 `B` 移至 `C` 。
=== "<1>"
{ class="animation-figure" }
=== "<2>"
{ class="animation-figure" }
=== "<3>"
{ class="animation-figure" }
=== "<4>"
{ class="animation-figure" }
圖 12-13 規模為 3 的問題的解
從本質上看，**我們將問題 $f(3)$ 劃分為兩個子問題 $f(2)$ 和一個子問題 $f(1)$** 。按順序解決這三個子問題之後，原問題隨之得到解決。這說明子問題是獨立的，而且解可以合併。
至此，我們可總結出圖 12-14 所示的解決河內塔問題的分治策略：將原問題 $f(n)$ 劃分為兩個子問題 $f(n-1)$ 和一個子問題 $f(1)$ ，並按照以下順序解決這三個子問題。
1. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `C` 從 `A` 移至 `B` 。
2. 將剩餘 $1$ 個圓盤從 `A` 直接移至 `C` 。
3. 將 $n-1$ 個圓盤藉助 `A` 從 `B` 移至 `C` 。
對於這兩個子問題 $f(n-1)$ ，**可以透過相同的方式進行遞迴劃分**，直至達到最小子問題 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移動操作即可。
{ class="animation-figure" }
圖 12-14 解決河內塔問題的分治策略
### 3. 程式碼實現
在程式碼中，我們宣告一個遞迴函式 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是將柱 `src` 頂部的 $i$ 個圓盤藉助緩衝柱 `buf` 移動至目標柱 `tar` ：
=== "Python"
```python title="hanota.py"
def move(src: list[int], tar: list[int]):
"""移動一個圓盤"""
# 從 src 頂部拿出一個圓盤
pan = src.pop()
# 將圓盤放入 tar 頂部
tar.append(pan)
def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
"""求解河內塔問題 f(i)"""
# 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if i == 1:
move(src, tar)
return
# 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf)
# 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar)
# 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar)
def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
"""求解河內塔問題"""
n = len(A)
# 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C)
```
=== "C++"
```cpp title="hanota.cpp"
/* 移動一個圓盤 */
void move(vector &src, vector &tar) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
int pan = src.back();
src.pop_back();
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.push_back(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
void dfs(int i, vector &src, vector &buf, vector &tar) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
void solveHanota(vector &A, vector &B, vector &C) {
int n = A.size();
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Java"
```java title="hanota.java"
/* 移動一個圓盤 */
void move(List src, List tar) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.add(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
void dfs(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
void solveHanota(List A, List B, List C) {
int n = A.size();
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C#"
```csharp title="hanota.cs"
/* 移動一個圓盤 */
void Move(List src, List tar) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
int pan = src[^1];
src.RemoveAt(src.Count - 1);
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.Add(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
void DFS(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
Move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
DFS(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
Move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
DFS(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
void SolveHanota(List A, List B, List C) {
int n = A.Count;
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
DFS(n, A, B, C);
}
```
=== "Go"
```go title="hanota.go"
/* 移動一個圓盤 */
func move(src, tar *list.List) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
pan := src.Back()
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.PushBack(pan.Value)
// 移除 src 頂部圓盤
src.Remove(pan)
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if i == 1 {
move(src, tar)
return
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar)
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
}
/* 求解河內塔問題 */
func solveHanota(A, B, C *list.List) {
n := A.Len()
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfsHanota(n, A, B, C)
}
```
=== "Swift"
```swift title="hanota.swift"
/* 移動一個圓盤 */
func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
let pan = src.popLast()!
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.append(pan)
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if i == 1 {
move(src: &src, tar: &tar)
return
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src: &src, tar: &tar)
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
}
/* 求解河內塔問題 */
func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
let n = A.count
// 串列尾部是柱子頂部
// 將 src 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
}
```
=== "JS"
```javascript title="hanota.js"
/* 移動一個圓盤 */
function move(src, tar) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
const pan = src.pop();
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.push(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
function dfs(i, src, buf, tar) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
function solveHanota(A, B, C) {
const n = A.length;
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "TS"
```typescript title="hanota.ts"
/* 移動一個圓盤 */
function move(src: number[], tar: number[]): void {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
const pan = src.pop();
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.push(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i === 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
const n = A.length;
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Dart"
```dart title="hanota.dart"
/* 移動一個圓盤 */
void move(List src, List tar) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
int pan = src.removeLast();
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.add(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
void dfs(int i, List src, List buf, List tar) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
void solveHanota(List A, List B, List C) {
int n = A.length;
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "Rust"
```rust title="hanota.rs"
/* 移動一個圓盤 */
fn move_pan(src: &mut Vec, tar: &mut Vec) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
let pan = src.remove(src.len() - 1);
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.push(pan);
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec, buf: &mut Vec, tar: &mut Vec) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if i == 1 {
move_pan(src, tar);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move_pan(src, tar);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar);
}
/* 求解河內塔問題 */
fn solve_hanota(A: &mut Vec, B: &mut Vec, C: &mut Vec) {
let n = A.len() as i32;
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C);
}
```
=== "C"
```c title="hanota.c"
/* 移動一個圓盤 */
void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
int pan = src[*srcSize - 1];
src[*srcSize - 1] = 0;
(*srcSize)--;
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar[*tarSize] = pan;
(*tarSize)++;
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, srcSize, tar, tarSize);
return;
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, srcSize, tar, tarSize);
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
}
/* 求解河內塔問題 */
void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="hanota.kt"
/* 移動一個圓盤 */
fun move(src: MutableList, tar: MutableList) {
// 從 src 頂部拿出一個圓盤
val pan = src.removeAt(src.size - 1)
// 將圓盤放入 tar 頂部
tar.add(pan)
}
/* 求解河內塔問題 f(i) */
fun dfs(i: Int, src: MutableList, buf: MutableList, tar: MutableList) {
// 若 src 只剩下一個圓盤，則直接將其移到 tar
if (i == 1) {
move(src, tar)
return
}
// 子問題 f(i-1) ：將 src 頂部 i-1 個圓盤藉助 tar 移到 buf
dfs(i - 1, src, tar, buf)
// 子問題 f(1) ：將 src 剩餘一個圓盤移到 tar
move(src, tar)
// 子問題 f(i-1) ：將 buf 頂部 i-1 個圓盤藉助 src 移到 tar
dfs(i - 1, buf, src, tar)
}
/* 求解河內塔問題 */
fun solveHanota(A: MutableList, B: MutableList, C: MutableList) {
val n = A.size
// 將 A 頂部 n 個圓盤藉助 B 移到 C
dfs(n, A, B, C)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="hanota.rb"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{solve_hanota}
```
=== "Zig"
```zig title="hanota.zig"
[class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs}
[class]{}-[func]{solveHanota}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
如圖 12-15 所示，河內塔問題形成一棵高度為 $n$ 的遞迴樹，每個節點代表一個子問題，對應一個開啟的 `dfs()` 函式，**因此時間複雜度為 $O(2^n)$ ，空間複雜度為 $O(n)$** 。
{ class="animation-figure" }
圖 12-15 河內塔問題的遞迴樹
!!! quote
河內塔問題源自一個古老的傳說。在古印度的一個寺廟裡，僧侶們有三根高大的鑽石柱子，以及 $64$ 個大小不一的金圓盤。僧侶們不斷地移動圓盤，他們相信在最後一個圓盤被正確放置的那一刻，這個世界就會結束。
然而，即使僧侶們每秒鐘移動一次，總共需要大約 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合約 $5850$ 億年，遠遠超過了現在對宇宙年齡的估計。所以，倘若這個傳說是真的，我們應該不需要擔心世界末日的到來。