--- comments: true status: new --- # 12.4   汉诺塔问题 在归并排序和构建二叉树中，我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。 !!! question 给定三根柱子，记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则。 1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入。 2. 每次只能移动一个圆盘。 3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。 ![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)

图 12-10   汉诺塔问题示例

**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。 ### 1.   考虑基本情况 如图 12-11 所示，对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。 === "<1>" ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png) === "<2>" ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)

图 12-11   规模为 1 问题的解

如图 12-12 所示，对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**。 1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。 2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。 3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。 === "<1>" ![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png) === "<2>" ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png) === "<3>" ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png) === "<4>" ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)

图 12-12   规模为 2 问题的解

解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为：**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中，`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。 ### 2.   子问题分解 对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。 因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，所以我们可从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。 1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` 。 2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。 3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` 。 === "<1>" ![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png) === "<2>" ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png) === "<3>" ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png) === "<4>" ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)

图 12-13   规模为 3 问题的解

本质上看，**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的，而且解是可以合并的。 至此，我们可总结出图 12-14 所示的汉诺塔问题的分治策略：将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ，并按照以下顺序解决这三个子问题。 1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。 2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。 3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。 对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。 ![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)

图 12-14   汉诺塔问题的分治策略

### 3.   代码实现 在代码中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。 === "Java" ```java title="hanota.java" /* 移动一个圆盘 */ void move(List src, List tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 Integer pan = src.remove(src.size() - 1); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.add(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ void dfs(int i, List src, List buf, List tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i == 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ void solveHanota(List A, List B, List C) { int n = A.size(); // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "C++" ```cpp title="hanota.cpp" /* 移动一个圆盘 */ void move(vector &src, vector &tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 int pan = src.back(); src.pop_back(); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.push_back(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ void dfs(int i, vector &src, vector &buf, vector &tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i == 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ void solveHanota(vector &A, vector &B, vector &C) { int n = A.size(); // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "Python" ```python title="hanota.py" def move(src: list[int], tar: list[int]): """移动一个圆盘""" # 从 src 顶部拿出一个圆盘 pan = src.pop() # 将圆盘放入 tar 顶部 tar.append(pan) def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]): """求解汉诺塔：问题 f(i)""" # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if i == 1: move(src, tar) return # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf) # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar) # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar) def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]): """求解汉诺塔""" n = len(A) # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C) ``` === "Go" ```go title="hanota.go" /* 移动一个圆盘 */ func move(src, tar *list.List) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 pan := src.Back() // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.PushBack(pan.Value) // 移除 src 顶部圆盘 src.Remove(pan) } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if i == 1 { move(src, tar) return } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfsHanota(i-1, src, tar, buf) // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar) // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfsHanota(i-1, buf, src, tar) } /* 求解汉诺塔 */ func solveHanota(A, B, C *list.List) { n := A.Len() // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfsHanota(n, A, B, C) } ``` === "JS" ```javascript title="hanota.js" /* 移动一个圆盘 */ function move(src, tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 const pan = src.pop(); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.push(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ function dfs(i, src, buf, tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i === 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ function solveHanota(A, B, C) { const n = A.length; // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "TS" ```typescript title="hanota.ts" /* 移动一个圆盘 */ function move(src: number[], tar: number[]): void { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 const pan = src.pop(); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.push(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i === 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void { const n = A.length; // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "C" ```c title="hanota.c" [class]{}-[func]{move} [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{solveHanota} ``` === "C#" ```csharp title="hanota.cs" /* 移动一个圆盘 */ void move(List src, List tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 int pan = src[^1]; src.RemoveAt(src.Count - 1); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.Add(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ void dfs(int i, List src, List buf, List tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i == 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ void solveHanota(List A, List B, List C) { int n = A.Count; // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "Swift" ```swift title="hanota.swift" /* 移动一个圆盘 */ func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 let pan = src.popLast()! // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.append(pan) } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if i == 1 { move(src: &src, tar: &tar) return } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf) // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src: &src, tar: &tar) // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar) } /* 求解汉诺塔 */ func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) { let n = A.count // 列表尾部是柱子顶部 // 将 src 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C) } ``` === "Zig" ```zig title="hanota.zig" [class]{}-[func]{move} [class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{solveHanota} ``` === "Dart" ```dart title="hanota.dart" /* 移动一个圆盘 */ void move(List src, List tar) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 int pan = src.removeLast(); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.add(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ void dfs(int i, List src, List buf, List tar) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if (i == 1) { move(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ void solveHanota(List A, List B, List C) { int n = A.length; // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` === "Rust" ```rust title="hanota.rs" /* 移动一个圆盘 */ fn move_pan(src: &mut Vec, tar: &mut Vec) { // 从 src 顶部拿出一个圆盘 let pan = src.remove(src.len() - 1); // 将圆盘放入 tar 顶部 tar.push(pan); } /* 求解汉诺塔：问题 f(i) */ fn dfs(i: i32, src: &mut Vec, buf: &mut Vec, tar: &mut Vec) { // 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar if i == 1 { move_pan(src, tar); return; } // 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf dfs(i - 1, src, tar, buf); // 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar move_pan(src, tar); // 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar dfs(i - 1, buf, src, tar); } /* 求解汉诺塔 */ fn solve_hanota(A: &mut Vec, B: &mut Vec, C: &mut Vec) { let n = A.len() as i32; // 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C dfs(n, A, B, C); } ``` 如图 12-15 所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。 ![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)

图 12-15   汉诺塔问题的递归树

!!! quote 汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。 然而，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。