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9.1.   图

「图 Graph」是一种非线性数据结构，由「顶点 Vertex」和「边 Edge」组成。我们可以将图 \(G\) 抽象地表示为一组顶点 \(V\) 和一组边 \(E\) 的集合。以下示例展示了一个包含 5 个顶点和 7 条边的图。

\[ \begin{aligned} V & = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \} \newline E & = \{ (1,2), (1,3), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5), (4,5) \} \newline G & = \{ V, E \} \newline \end{aligned} \]

链表、树、图之间的关系

Fig. 链表、树、图之间的关系

那么，图与其他数据结构的关系是什么？如果我们把「顶点」看作节点，把「边」看作连接各个节点的指针，则可将「图」看作是一种从「链表」拓展而来的数据结构。相较于线性关系（链表）和分治关系（树），网络关系（图）的自由度更高，从而更为复杂。

9.1.1.   图常见类型

根据边是否具有方向，可分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。

  • 在无向图中，边表示两顶点之间的“双向”连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
  • 在有向图中，边具有方向性，即 \(A \rightarrow B\) 和 \(A \leftarrow B\) 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；

有向图与无向图

Fig. 有向图与无向图

根据所有顶点是否连通，可分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。

  • 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
  • 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；

连通图与非连通图

Fig. 连通图与非连通图

我们还可以为边添加“权重”变量，从而得到「有权图 Weighted Graph」。例如，在王者荣耀等手游中，系统会根据共同游戏时间来计算玩家之间的“亲密度”，这种亲密度网络就可以用有权图来表示。

有权图与无权图

Fig. 有权图与无权图

9.1.2.   图常用术语

  • 「邻接 Adjacency」：当两顶点之间存在边相连时，称这两顶点“邻接”。在上图中，顶点 1 的邻接顶点为顶点 2、3、5。
  • 「路径 Path」：从顶点 A 到顶点 B 经过的边构成的序列被称为从 A 到 B 的“路径”。在上图中，边序列 1-5-2-4 是顶点 1 到顶点 4 的一条路径。
  • 「度 Degree」表示一个顶点拥有的边数。对于有向图，「入度 In-Degree」表示有多少条边指向该顶点，「出度 Out-Degree」表示有多少条边从该顶点指出。

9.1.3.   图的表示

图的常用表示方法包括「邻接矩阵」和「邻接表」。以下使用无向图进行举例。

邻接矩阵

设图的顶点数量为 \(n\) ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 \(n \times n\) 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，用 \(1\) 或 \(0\) 表示两个顶点之间是否存在边。

如下图所示，设邻接矩阵为 \(M\) 、顶点列表为 \(V\) ，那么矩阵元素 \(M[i][j] = 1\) 表示顶点 \(V[i]\) 到顶点 \(V[j]\) 之间存在边，反之 \(M[i][j] = 0\) 表示两顶点之间无边。

图的邻接矩阵表示

Fig. 图的邻接矩阵表示

邻接矩阵具有以下特性：

  • 顶点不能与自身相连，因此邻接矩阵主对角线元素没有意义。
  • 对于无向图，两个方向的边等价，此时邻接矩阵关于主对角线对称。
  • 将邻接矩阵的元素从 \(1\) , \(0\) 替换为权重，则可表示有权图。

使用邻接矩阵表示图时，我们可以直接访问矩阵元素以获取边，因此增删查操作的效率很高，时间复杂度均为 \(O(1)\) 。然而，矩阵的空间复杂度为 \(O(n^2)\) ，内存占用较多。

邻接表

「邻接表 Adjacency List」使用 \(n\) 个链表来表示图，链表节点表示顶点。第 \(i\) 条链表对应顶点 \(i\) ，其中存储了该顶点的所有邻接顶点（即与该顶点相连的顶点）。

图的邻接表表示

Fig. 图的邻接表表示

邻接表仅存储实际存在的边，而边的总数通常远小于 \(n^2\) ，因此它更加节省空间。然而，在邻接表中需要通过遍历链表来查找边，因此其时间效率不如邻接矩阵。

观察上图可发现，邻接表结构与哈希表中的「链地址法」非常相似，因此我们也可以采用类似方法来优化效率。例如，当链表较长时，可以将链表转化为 AVL 树或红黑树，从而将时间效率从 \(O(n)\) 优化至 \(O(\log n)\) ，还可以通过中序遍历获取有序序列；此外，还可以将链表转换为哈希表，将时间复杂度降低至 \(O(1)\) 。

9.1.4.   图常见应用

实际应用中，许多系统都可以用图来建模，相应的待求解问题也可以约化为图计算问题。

顶点 边 图计算问题
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太阳系 星体 星体间的万有引力作用 行星轨道计算

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