9.3. 图的遍历¶
图与树的关系
树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例，建议你在学习本章节时融会贯通两者的概念与实现方法。
「图」和「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
与树类似，图的遍历方式也可分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，也称为「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称 BFS 和 DFS。
9.3.1. 广度优先遍历¶
广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张。具体来说，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。
Fig. 图的广度优先遍历
算法实现¶
BFS 通常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。
- 将遍历起始顶点
startVet加入队列，并开启循环； - 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
- 循环步骤
2.，直到所有顶点被访问完成后结束；
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 visited 来记录哪些结点已被访问。
graph_bfs.java
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.cpp
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex*> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex*> res;
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex*> visited = { startVet };
// 队列用于实现 BFS
queue<Vertex*> que;
que.push(startVet);
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.empty()) {
Vertex *vet = que.front();
que.pop(); // 队首顶点出队
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.py
def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
""" 广度优先遍历 BFS """
# 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]([start_vet])
# 队列用于实现 BFS
que = deque[Vertex]([start_vet])
# 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while len(que) > 0:
vet = que.popleft() # 队首顶点出队
res.append(vet) # 记录访问顶点
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
if adj_vet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
que.append(adj_vet) # 只入队未访问的顶点
visited.add(adj_vet) # 标记该顶点已被访问
# 返回顶点遍历序列
return res
graph_bfs.go
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
visited[startVet] = struct{}{}
// 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
queue := make([]Vertex, 0)
queue = append(queue, startVet)
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
for len(queue) > 0 {
// 队首顶点出队
vet := queue[0]
queue = queue[1:]
// 记录访问顶点
res = append(res, vet)
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 只入队未访问的顶点
if !isExist {
queue = append(queue, adjVet)
visited[adjVet] = struct{}{}
}
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_bfs.js
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.ts
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
visited.add(startVet);
// 队列用于实现 BFS
const que = [startVet];
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (que.length) {
const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
res.push(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
que.push(adjVet); // 只入队未访问
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
graph_bfs.swift
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = [startVet]
// 队列用于实现 BFS
var que: [Vertex] = [startVet]
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while !que.isEmpty {
let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
res.append(vet) // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问过的顶点
}
que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res
}
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
广度优先遍历的序列是否唯一？
不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的。以上图为例，顶点 \(1\) , \(3\) 的访问顺序可以交换、顶点 \(2\) , \(4\) , \(6\) 的访问顺序也可以任意交换。
复杂度分析¶
时间复杂度： 所有顶点都会入队并出队一次，使用 \(O(|V|)\) 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。
空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited ，队列 que 中的顶点数量最多为 \(|V|\) ，使用 \(O(|V|)\) 空间。
9.3.2. 深度优先遍历¶
深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式。具体地，从某个顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。
Fig. 图的深度优先遍历
算法实现¶
这种“走到尽头 + 回溯”的算法形式通常基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 visited 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
graph_dfs.java
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.cpp
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList& graph, unordered_set<Vertex*>& visited, vector<Vertex*>& res, Vertex* vet) {
res.push_back(vet); // 记录访问顶点
visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex* adjVet : graph.adjList[vet]) {
if (visited.count(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
vector<Vertex*> graphDFS(GraphAdjList& graph, Vertex* startVet) {
// 顶点遍历序列
vector<Vertex*> res;
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
unordered_set<Vertex*> visited;
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.py
def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
""" 深度优先遍历 DFS 辅助函数 """
res.append(vet) # 记录访问顶点
visited.add(vet) # 标记该顶点已被访问
# 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adj_list[vet]:
if adjVet in visited:
continue # 跳过已被访问过的顶点
# 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet)
def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
""" 深度优先遍历 DFS """
# 顶点遍历序列
res = []
# 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
visited = set[Vertex]()
dfs(graph, visited, res, start_vet)
return res
graph_dfs.go
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
// append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
*res = append(*res, vet)
visited[vet] = struct{}{}
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
_, isExist := visited[adjVet]
// 递归访问邻接顶点
if !isExist {
dfs(g, visited, res, adjVet)
}
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
// 顶点遍历序列
res := make([]Vertex, 0)
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
visited := make(map[Vertex]struct{})
dfs(g, visited, &res, startVet)
// 返回顶点遍历序列
return res
}
graph_dfs.js
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function dfs(graph, visited, res, vet) {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph, startVet) {
// 顶点遍历序列
const res = [];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
const visited = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.ts
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
function dfs(graph: GraphAdjList, visited: Set<Vertex>, res: Vertex[], vet: Vertex): void {
res.push(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.has(adjVet)) {
continue; // 跳过已被访问过的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
// 顶点遍历序列
const res: Vertex[] = [];
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
const visited: Set<Vertex> = new Set();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
graph_dfs.swift
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
res.append(vet) // 记录访问顶点
visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
if visited.contains(adjVet) {
continue // 跳过已被访问过的顶点
}
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
// 顶点遍历序列
var res: [Vertex] = []
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
var visited: Set<Vertex> = []
dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
return res
}
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中：
- 直虚线代表向下递推，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- 曲虚线代表向上回溯，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
深度优先遍历的序列是否唯一？
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 \(\rightarrow\) 左 \(\rightarrow\) 右”、“左 \(\rightarrow\) 根 \(\rightarrow\) 右”、“左 \(\rightarrow\) 右 \(\rightarrow\) 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。
复杂度分析¶
时间复杂度： 所有顶点都会被访问 \(1\) 次，使用 \(O(|V|)\) 时间；所有边都会被访问 \(2\) 次，使用 \(O(2|E|)\) 时间；总体使用 \(O(|V| + |E|)\) 时间。
空间复杂度： 列表 res ，哈希表 visited 顶点数量最多为 \(|V|\) ，递归深度最大为 \(|V|\) ，因此使用 \(O(|V|)\) 空间。