12.2. 分治搜索策略¶
我们已经学过，搜索算法分为两大类：
- 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 \(O(n)\) 。
- 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 \(O(\log n)\) 甚至 \(O(1)\) 的时间复杂度。
实际上，时间复杂度为 \(O(\log n)\) 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的，例如：
- 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
- 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 \(O(\log n)\) 。
以二分查找为例：
- 问题可以被分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
- 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
- 子问题的解无需合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。
分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治搜索每轮可以排除一半选项。
基于分治实现二分¶
在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。
Question
给定一个长度为 \(n\) 的有序数组 nums ，数组中所有元素都是唯一的，请查找元素 target 。
从分治角度，我们将搜索区间 \([i, j]\) 对应的子问题记为 \(f(i, j)\) 。
从原问题 \(f(0, n-1)\) 为起始点，二分查找的分治步骤为：
- 计算搜索区间 \([i, j]\) 的中点 \(m\) ，根据它排除一半搜索区间；
- 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 \(f(i, m-1)\) 或 \(f(m+1, j)\) ；
- 循环第
1.,2.步，直至找到target或区间为空时返回。
下图展示了在数组中二分查找元素 \(6\) 的分治过程。
Fig. 二分查找的分治过程
在实现代码中，我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 \(f(i, j)\) 。
binary_search_recur.java
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.cpp
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
int n = nums.size();
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}
binary_search_recur.py
def dfs(nums: list[int], target: int, i: int, j: int) -> int:
"""二分查找：问题 f(i, j)"""
# 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if i > j:
return -1
# 计算中点索引 m
m = (i + j) // 2
if nums[m] < target:
# 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j)
elif nums[m] > target:
# 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1)
else:
# 找到目标元素，返回其索引
return m
def binary_search(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分查找"""
n = len(nums)
# 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1)
binary_search_recur.go
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
func dfs(nums []int, target, i, j int) int {
// 如果区间为空，代表没有目标元素，则返回 -1
if i > j {
return -1
}
// 计算索引中点
m := i + ((j - i) >> 1)
//判断中点与目标元素大小
if nums[m] < target {
// 小于则递归右半数组
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m+1, j)
} else if nums[m] > target {
// 小于则递归左半数组
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m-1)
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m
}
}
/* 二分查找 */
func binarySearch(nums []int, target int) int {
n := len(nums)
return dfs(nums, target, 0, n-1)
}
binary_search_recur.cs
/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(int[] nums, int target, int i, int j) {
// 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
if (i > j) {
return -1;
}
// 计算中点索引 m
int m = (i + j) / 2;
if (nums[m] < target) {
// 递归子问题 f(m+1, j)
return dfs(nums, target, m + 1, j);
} else if (nums[m] > target) {
// 递归子问题 f(i, m-1)
return dfs(nums, target, i, m - 1);
} else {
// 找到目标元素，返回其索引
return m;
}
}
/* 二分查找 */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int n = nums.Length;
// 求解问题 f(0, n-1)
return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}