--- comments: true --- # 2.3   时间复杂度 运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？ 1. **确定运行平台**，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。 2. **评估各种计算操作所需的运行时间**，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，打印操作 `print()` 需要 5 ns 等。 3. **统计代码中所有的计算操作**，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。 例如在以下代码中，输入数据大小为 $n$ ： === "Python" ```python title="" # 在某运行平台下 def algorithm(n: int): a = 2 # 1 ns a = a + 1 # 1 ns a = a * 2 # 10 ns # 循环 n 次 for _ in range(n): # 1 ns print(0) # 5 ns ``` === "C++" ```cpp title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns cout << 0 << endl; // 5 ns } } ``` === "Java" ```java title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns System.out.println(0); // 5 ns } } ``` === "C#" ```csharp title="" // 在某运行平台下 void Algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns Console.WriteLine(0); // 5 ns } } ``` === "Go" ```go title="" // 在某运行平台下 func algorithm(n int) { a := 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 循环 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns fmt.Println(a) // 5 ns } } ``` === "Swift" ```swift title="" // 在某运行平台下 func algorithm(n: Int) { var a = 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 循环 n 次 for _ in 0 ..< n { // 1 ns print(0) // 5 ns } } ``` === "JS" ```javascript title="" // 在某运行平台下 function algorithm(n) { var a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns console.log(0); // 5 ns } } ``` === "TS" ```typescript title="" // 在某运行平台下 function algorithm(n: number): void { var a: number = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns console.log(0); // 5 ns } } ``` === "Dart" ```dart title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns print(0); // 5 ns } } ``` === "Rust" ```rust title="" // 在某运行平台下 fn algorithm(n: i32) { let mut a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for _ in 0..n { // 1 ns println!("{}", 0); // 5 ns } } ``` === "C" ```c title="" // 在某运行平台下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns printf("%d", 0); // 5 ns } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" // 在某运行平台下 fun algorithm(n: Int) { var a = 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 循环 n 次 for (i in 0.. 图 2-7   算法 A、B 和 C 的时间增长趋势

相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？ - **时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 $n > 1$ 时比算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 更慢。事实上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。 - **时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。 - **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。对于此类情况，我们时常难以仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。 ## 2.3.2   函数渐近上界 给定一个输入大小为 $n$ 的函数： === "Python" ```python title="" def algorithm(n: int): a = 1 # +1 a = a + 1 # +1 a = a * 2 # +1 # 循环 n 次 for i in range(n): # +1 print(0) # +1 ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） cout << 0 << endl; // +1 } } ``` === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） System.out.println(0); // +1 } } ``` === "C#" ```csharp title="" void Algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） Console.WriteLine(0); // +1 } } ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 循环 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // +1 fmt.Println(a) // +1 } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 循环 n 次 for _ in 0 ..< n { // +1 print(0) // +1 } } ``` === "JS" ```javascript title="" function algorithm(n) { var a = 1; // +1 a += 1; // +1 a *= 2; // +1 // 循环 n 次 for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++） console.log(0); // +1 } } ``` === "TS" ```typescript title="" function algorithm(n: number): void{ var a: number = 1; // +1 a += 1; // +1 a *= 2; // +1 // 循环 n 次 for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++） console.log(0); // +1 } } ``` === "Dart" ```dart title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） print(0); // +1 } } ``` === "Rust" ```rust title="" fn algorithm(n: i32) { let mut a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for _ in 0..n { // +1（每轮都执行 i ++） println!("{}", 0); // +1 } } ``` === "C" ```c title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 循环 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++） printf("%d", 0); // +1 } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" fun algorithm(n: Int) { var a = 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 循环 n 次 for (i in 0..大 $O$ 记号（big-$O$ notation），表示函数 $T(n)$ 的渐近上界（asymptotic upper bound）。 时间复杂度分析本质上是计算“操作数量 $T(n)$”的渐近上界，它具有明确的数学定义。 !!! note "函数渐近上界" 若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有 $T(n) \leq c \cdot f(n)$ ，则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为 $T(n) = O(f(n))$ 。 如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。 ![函数的渐近上界](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png){ class="animation-figure" }

图 2-8   函数的渐近上界

## 2.3.3   推算方法 渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。 根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。 ### 1.   第一步：统计操作数量 针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。 1. **忽略 $T(n)$ 中的常数项**。因为它们都与 $n$ 无关，所以对时间复杂度不产生影响。 2. **省略所有系数**。例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以简化记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。 3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 `1.` 点和第 `2.` 点的技巧。 给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量： === "Python" ```python title="" def algorithm(n: int): a = 1 # +0（技巧 1） a = a + n # +0（技巧 1） # +n（技巧 2） for i in range(5 * n + 1): print(0) # +n*n（技巧 3） for i in range(2 * n): for j in range(n + 1): print(0) ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { cout << 0 << endl; } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } ``` === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { System.out.println(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { System.out.println(0); } } } ``` === "C#" ```csharp title="" void Algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { Console.WriteLine(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { Console.WriteLine(0); } } } ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ { fmt.Println(0) } // +n*n（技巧 3） for i := 0; i < 2 * n; i++ { for j := 0; j < n + 1; j++ { fmt.Println(0) } } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for _ in 0 ..< (5 * n + 1) { print(0) } // +n*n（技巧 3） for _ in 0 ..< (2 * n) { for _ in 0 ..< (n + 1) { print(0) } } } ``` === "JS" ```javascript title="" function algorithm(n) { let a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { console.log(0); } // +n*n（技巧 3） for (let i = 0; i < 2 * n; i++) { for (let j = 0; j < n + 1; j++) { console.log(0); } } } ``` === "TS" ```typescript title="" function algorithm(n: number): void { let a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { console.log(0); } // +n*n（技巧 3） for (let i = 0; i < 2 * n; i++) { for (let j = 0; j < n + 1; j++) { console.log(0); } } } ``` === "Dart" ```dart title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { print(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { print(0); } } } ``` === "Rust" ```rust title="" fn algorithm(n: i32) { let mut a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for i in 0..(5 * n + 1) { println!("{}", 0); } // +n*n（技巧 3） for i in 0..(2 * n) { for j in 0..(n + 1) { println!("{}", 0); } } } ``` === "C" ```c title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { printf("%d", 0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { printf("%d", 0); } } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" fun algorithm(n: Int) { var a = 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (i in 0..<5 * n + 1) { println(0) } // +n*n（技巧 3） for (i in 0..<2 * n) { for (j in 0.. 表 2-2   不同操作数量对应的时间复杂度

| 操作数量 $T(n)$ | 时间复杂度 $O(f(n))$ | | ---------------------- | -------------------- | | $100000$ | $O(1)$ | | $3n + 2$ | $O(n)$ | | $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ | | $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ | | $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
## 2.3.4   常见类型 设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。 $$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶} \end{aligned} $$ ![常见的时间复杂度类型](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png){ class="animation-figure" }

图 2-9   常见的时间复杂度类型

### 1.   常数阶 $O(1)$ {data-toc-label="1.   常数阶"} 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。 在以下函数中，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与输入数据大小 $n$ 无关，因此时间复杂度仍为 $O(1)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def constant(n: int) -> int: """常数阶""" count = 0 size = 100000 for _ in range(size): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 常数阶 */ int Constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 常数阶 */ func constant(n int) int { count := 0 size := 100000 for i := 0; i < size; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 常数阶 */ func constant(n: Int) -> Int { var count = 0 let size = 100_000 for _ in 0 ..< size { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 常数阶 */ function constant(n) { let count = 0; const size = 100000; for (let i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 常数阶 */ function constant(n: number): number { let count = 0; const size = 100000; for (let i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (var i = 0; i < size; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 常数阶 */ fn constant(n: i32) -> i32 { _ = n; let mut count = 0; let size = 100_000; for _ in 0..size { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 常数阶 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; int i = 0; for (int i = 0; i < size; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 常数阶 */ fun constant(n: Int): Int { var count = 0 val size = 100000 for (i in 0..
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### 2.   线性阶 $O(n)$ {data-toc-label="2.   线性阶"} 线性阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def linear(n: int) -> int: """线性阶""" count = 0 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 线性阶 */ int Linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 线性阶 */ func linear(n int) int { count := 0 for i := 0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 线性阶 */ func linear(n: Int) -> Int { var count = 0 for _ in 0 ..< n { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 线性阶 */ function linear(n) { let count = 0; for (let i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 线性阶 */ function linear(n: number): number { let count = 0; for (let i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (var i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 线性阶 */ fn linear(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; for _ in 0..n { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 线性阶 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 线性阶 */ fun linear(n: Int): Int { var count = 0 for (i in 0.. 遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def array_traversal(nums: list[int]) -> int: """线性阶（遍历数组）""" count = 0 # 循环次数与数组长度成正比 for num in nums: count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(vector &nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 线性阶（遍历数组） */ int ArrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 foreach (int num in nums) { count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 线性阶（遍历数组） */ func arrayTraversal(nums []int) int { count := 0 // 循环次数与数组长度成正比 for range nums { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 线性阶（遍历数组） */ func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int { var count = 0 // 循环次数与数组长度成正比 for _ in nums { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 线性阶（遍历数组） */ function arrayTraversal(nums) { let count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (let i = 0; i < nums.length; i++) { count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 线性阶（遍历数组） */ function arrayTraversal(nums: number[]): number { let count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (let i = 0; i < nums.length; i++) { count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(List nums) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (var _num in nums) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 线性阶（遍历数组） */ fn array_traversal(nums: &[i32]) -> i32 { let mut count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for _ in nums { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 线性阶（遍历数组） */ int arrayTraversal(int *nums, int n) { int count = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 线性阶（遍历数组） */ fun arrayTraversal(nums: IntArray): Int { var count = 0 // 循环次数与数组长度成正比 for (num in nums) { count++ } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 线性阶（遍历数组）### def array_traversal(nums) count = 0 # 循环次数与数组长度成正比 for num in nums count += 1 end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 线性阶（遍历数组） fn arrayTraversal(nums: []i32) i32 { var count: i32 = 0; // 循环次数与数组长度成正比 for (nums) |_| { count += 1; } return count; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
值得注意的是，**输入数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。比如在第一个示例中，变量 $n$ 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 $n$ 为数据大小。 ### 3.   平方阶 $O(n^2)$ {data-toc-label="3.   平方阶"} 平方阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为 $O(n)$ ，因此总体的时间复杂度为 $O(n^2)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def quadratic(n: int) -> int: """平方阶""" count = 0 # 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for i in range(n): for j in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 平方阶 */ int Quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 平方阶 */ func quadratic(n int) int { count := 0 // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < n; j++ { count++ } } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 平方阶 */ func quadratic(n: Int) -> Int { var count = 0 // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for _ in 0 ..< n { for _ in 0 ..< n { count += 1 } } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 平方阶 */ function quadratic(n) { let count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 平方阶 */ function quadratic(n: number): number { let count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 平方阶 */ fn quadratic(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for _ in 0..n { for _ in 0..n { count += 1; } } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 平方阶 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 平方阶 */ fun quadratic(n: Int): Int { var count = 0 // 循环次数与数据大小 n 成平方关系 for (i in 0.. 图 2-10 对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。 ![常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png){ class="animation-figure" }

图 2-10   常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度

以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def bubble_sort(nums: list[int]) -> int: """平方阶（冒泡排序）""" count = 0 # 计数器 # 外循环：未排序区间为 [0, i] for i in range(len(nums) - 1, 0, -1): # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for j in range(i): if nums[j] > nums[j + 1]: # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] tmp: int = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(vector &nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 平方阶（冒泡排序） */ int BubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] (nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]); count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 平方阶（冒泡排序） */ func bubbleSort(nums []int) int { count := 0 // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for j := 0; j < i; j++ { if nums[j] > nums[j+1] { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] tmp := nums[j] nums[j] = nums[j+1] nums[j+1] = tmp count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 平方阶（冒泡排序） */ func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int { var count = 0 // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for i in nums.indices.dropFirst().reversed() { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for j in 0 ..< i { if nums[j] > nums[j + 1] { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] let tmp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 平方阶（冒泡排序） */ function bubbleSort(nums) { let count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (let j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 平方阶（冒泡排序） */ function bubbleSort(nums: number[]): number { let count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (let j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(List nums) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (var j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 平方阶（冒泡排序） */ fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) -> i32 { let mut count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for i in (1..nums.len()).rev() { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for j in 0..i { if nums[j] > nums[j + 1] { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 平方阶（冒泡排序） */ int bubbleSort(int *nums, int n) { int count = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (int i = n - 1; i > 0; i--) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 平方阶（冒泡排序） */ fun bubbleSort(nums: IntArray): Int { var count = 0 // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] for (i in nums.size - 1 downTo 1) { // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for (j in 0.. nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] val temp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = temp count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 平方阶（冒泡排序）### def bubble_sort(nums) count = 0 # 计数器 # 外循环：未排序区间为 [0, i] for i in (nums.length - 1).downto(0) # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 for j in 0...i if nums[j] > nums[j + 1] # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] tmp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 # 元素交换包含 3 个单元操作 end end end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 平方阶（冒泡排序） fn bubbleSort(nums: []i32) i32 { var count: i32 = 0; // 计数器 // 外循环：未排序区间为 [0, i] var i: i32 = @as(i32, @intCast(nums.len)) - 1; while (i > 0) : (i -= 1) { var j: usize = 0; // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端 while (j < i) : (j += 1) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1] var tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作 } } } return count; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
### 4.   指数阶 $O(2^n)$ {data-toc-label="4.   指数阶"} 生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。 图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 $O(2^n)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def exponential(n: int) -> int: """指数阶（循环实现）""" count = 0 base = 1 # 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in range(n): for _ in range(base): count += 1 base *= 2 # count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 指数阶（循环实现） */ int Exponential(int n) { int count = 0, bas = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < bas; j++) { count++; } bas *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 指数阶（循环实现）*/ func exponential(n int) int { count, base := 0, 1 // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < base; j++ { count++ } base *= 2 } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 指数阶（循环实现） */ func exponential(n: Int) -> Int { var count = 0 var base = 1 // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in 0 ..< n { for _ in 0 ..< base { count += 1 } base *= 2 } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 指数阶（循环实现） */ function exponential(n) { let count = 0, base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 指数阶（循环实现） */ function exponential(n: number): number { let count = 0, base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (var i = 0; i < n; i++) { for (var j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 指数阶（循环实现） */ fn exponential(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; let mut base = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in 0..n { for _ in 0..base { count += 1 } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 指数阶（循环实现） */ int exponential(int n) { int count = 0; int bas = 1; // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < bas; j++) { count++; } bas *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 指数阶（循环实现） */ fun exponential(n: Int): Int { var count = 0 var base = 1 // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (i in 0.. ![指数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png){ class="animation-figure" }

图 2-11   指数阶的时间复杂度

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def exp_recur(n: int) -> int: """指数阶（递归实现）""" if n == 1: return 1 return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 指数阶（递归实现） */ int ExpRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return ExpRecur(n - 1) + ExpRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 指数阶（递归实现）*/ func expRecur(n int) int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1 } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 指数阶（递归实现） */ func expRecur(n: Int) -> Int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1 } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 指数阶（递归实现） */ function expRecur(n) { if (n === 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 指数阶（递归实现） */ function expRecur(n: number): number { if (n === 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 指数阶（递归实现） */ fn exp_recur(n: i32) -> i32 { if n == 1 { return 1; } exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 指数阶（递归实现） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 指数阶（递归实现） */ fun expRecur(n: Int): Int { if (n == 1) { return 1 } return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 指数阶（递归实现）### def exp_recur(n) return 1 if n == 1 exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 指数阶（递归实现） fn expRecur(n: i32) i32 { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。 ### 5.   对数阶 $O(\log n)$ {data-toc-label="5.   对数阶"} 与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。 图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def logarithmic(n: int) -> int: """对数阶（循环实现）""" count = 0 while n > 1: n = n / 2 count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 对数阶（循环实现） */ int Logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n /= 2; count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 对数阶（循环实现）*/ func logarithmic(n int) int { count := 0 for n > 1 { n = n / 2 count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 对数阶（循环实现） */ func logarithmic(n: Int) -> Int { var count = 0 var n = n while n > 1 { n = n / 2 count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 对数阶（循环实现） */ function logarithmic(n) { let count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 对数阶（循环实现） */ function logarithmic(n: number): number { let count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n ~/ 2; count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 对数阶（循环实现） */ fn logarithmic(mut n: i32) -> i32 { let mut count = 0; while n > 1 { n = n / 2; count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 对数阶（循环实现） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 对数阶（循环实现） */ fun logarithmic(n: Int): Int { var n1 = n var count = 0 while (n1 > 1) { n1 /= 2 count++ } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 对数阶（循环实现）### def logarithmic(n) count = 0 while n > 1 n /= 2 count += 1 end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 对数阶（循环实现） fn logarithmic(n: i32) i32 { var count: i32 = 0; var n_var = n; while (n_var > 1) { n_var = n_var / 2; count +=1; } return count; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
![对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png){ class="animation-figure" }

图 2-12   对数阶的时间复杂度

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为 $\log_2 n$ 的递归树： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def log_recur(n: int) -> int: """对数阶（递归实现）""" if n <= 1: return 0 return log_recur(n / 2) + 1 ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 对数阶（递归实现） */ int LogRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return LogRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 对数阶（递归实现）*/ func logRecur(n int) int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n/2) + 1 } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 对数阶（递归实现） */ func logRecur(n: Int) -> Int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n: n / 2) + 1 } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 对数阶（递归实现） */ function logRecur(n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 对数阶（递归实现） */ function logRecur(n: number): number { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n ~/ 2) + 1; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 对数阶（递归实现） */ fn log_recur(n: i32) -> i32 { if n <= 1 { return 0; } log_recur(n / 2) + 1 } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 对数阶（递归实现） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 对数阶（递归实现） */ fun logRecur(n: Int): Int { if (n <= 1) return 0 return logRecur(n / 2) + 1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 对数阶（递归实现）### def log_recur(n) return 0 unless n > 1 log_recur(n / 2) + 1 end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 对数阶（递归实现） fn logRecur(n: i32) i32 { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。 !!! tip "$O(\log n)$ 的底数是多少？" 准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数、相等的时间复杂度： $$ O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n) $$ 也就是说，底数 $m$ 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。 ### 6.   线性对数阶 $O(n \log n)$ {data-toc-label="6.   线性对数阶"} 线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。相关代码如下： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def linear_log_recur(n: int) -> int: """线性对数阶""" if n <= 1: return 1 # 一分为二，子问题的规模减小一半 count = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2) # 当前子问题包含 n 个操作 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 线性对数阶 */ int LinearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = LinearLogRecur(n / 2) + LinearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 线性对数阶 */ func linearLogRecur(n int) int { if n <= 1 { return 1 } count := linearLogRecur(n/2) + linearLogRecur(n/2) for i := 0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 线性对数阶 */ func linearLogRecur(n: Int) -> Int { if n <= 1 { return 1 } var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2) for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 线性对数阶 */ function linearLogRecur(n) { if (n <= 1) return 1; let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (let i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 线性对数阶 */ function linearLogRecur(n: number): number { if (n <= 1) return 1; let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (let i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n ~/ 2) + linearLogRecur(n ~/ 2); for (var i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 线性对数阶 */ fn linear_log_recur(n: i32) -> i32 { if n <= 1 { return 1; } let mut count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2); for _ in 0..n { count += 1; } return count; } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 线性对数阶 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 线性对数阶 */ fun linearLogRecur(n: Int): Int { if (n <= 1) return 1 var count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2) for (i in 0.. 1 count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2) (0...n).each { count += 1 } count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 线性对数阶 fn linearLogRecur(n: i32) i32 { if (n <= 1) return 1; var count: i32 = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); var i: i32 = 0; while (i < n) : (i += 1) { count += 1; } return count; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 ![线性对数阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png){ class="animation-figure" }

图 2-13   线性对数阶的时间复杂度

主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。 ### 7.   阶乘阶 $O(n!)$ {data-toc-label="7.   阶乘阶"} 阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为： $$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1 $$ 阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def factorial_recur(n: int) -> int: """阶乘阶（递归实现）""" if n == 0: return 1 count = 0 # 从 1 个分裂出 n 个 for _ in range(n): count += factorial_recur(n - 1) return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 阶乘阶（递归实现） */ int FactorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (int i = 0; i < n; i++) { count += FactorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 阶乘阶（递归实现） */ func factorialRecur(n int) int { if n == 0 { return 1 } count := 0 // 从 1 个分裂出 n 个 for i := 0; i < n; i++ { count += factorialRecur(n - 1) } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 阶乘阶（递归实现） */ func factorialRecur(n: Int) -> Int { if n == 0 { return 1 } var count = 0 // 从 1 个分裂出 n 个 for _ in 0 ..< n { count += factorialRecur(n: n - 1) } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 阶乘阶（递归实现） */ function factorialRecur(n) { if (n === 0) return 1; let count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (let i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 阶乘阶（递归实现） */ function factorialRecur(n: number): number { if (n === 0) return 1; let count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (let i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for (var i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 阶乘阶（递归实现） */ fn factorial_recur(n: i32) -> i32 { if n == 0 { return 1; } let mut count = 0; // 从 1 个分裂出 n 个 for _ in 0..n { count += factorial_recur(n - 1); } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 阶乘阶（递归实现） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 阶乘阶（递归实现） */ fun factorialRecur(n: Int): Int { if (n == 0) return 1 var count = 0 // 从 1 个分裂出 n 个 for (i in 0.. ![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png){ class="animation-figure" }

图 2-14   阶乘阶的时间复杂度

请注意，因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。 ## 2.3.5   最差、最佳、平均时间复杂度 **算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。 - 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即当末尾元素是 $1$ 时，需要完整遍历数组，**达到最差时间复杂度 $O(n)$** 。 - 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个元素为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，**达到最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** 。 “最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 $O$ 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 $\Omega$ 记号表示： === "Python" ```python title="worst_best_time_complexity.py" def random_numbers(n: int) -> list[int]: """生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱""" # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n nums = [i for i in range(1, n + 1)] # 随机打乱数组元素 random.shuffle(nums) return nums def find_one(nums: list[int]) -> int: """查找数组 nums 中数字 1 所在索引""" for i in range(len(nums)): # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) # 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if nums[i] == 1: return i return -1 ``` === "C++" ```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ vector randomNumbers(int n) { vector nums(n); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 使用系统时间生成随机种子 unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count(); // 随机打乱数组元素 shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed)); return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(vector &nums) { for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Java" ```java title="worst_best_time_complexity.java" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ int[] randomNumbers(int n) { Integer[] nums = new Integer[n]; // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 Collections.shuffle(Arrays.asList(nums)); // Integer[] -> int[] int[] res = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nums[i]; } return res; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.length; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "C#" ```csharp title="worst_best_time_complexity.cs" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ int[] RandomNumbers(int n) { int[] nums = new int[n]; // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 for (int i = 0; i < nums.Length; i++) { int index = new Random().Next(i, nums.Length); (nums[i], nums[index]) = (nums[index], nums[i]); } return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int FindOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.Length; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Go" ```go title="worst_best_time_complexity.go" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ func randomNumbers(n int) []int { nums := make([]int, n) // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for i := 0; i < n; i++ { nums[i] = i + 1 } // 随机打乱数组元素 rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) { nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i] }) return nums } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ func findOne(nums []int) int { for i := 0; i < len(nums); i++ { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if nums[i] == 1 { return i } } return -1 } ``` === "Swift" ```swift title="worst_best_time_complexity.swift" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ func randomNumbers(n: Int) -> [Int] { // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } var nums = Array(1 ... n) // 随机打乱数组元素 nums.shuffle() return nums } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ func findOne(nums: [Int]) -> Int { for i in nums.indices { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if nums[i] == 1 { return i } } return -1 } ``` === "JS" ```javascript title="worst_best_time_complexity.js" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ function randomNumbers(n) { const nums = Array(n); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (let i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 for (let i = 0; i < n; i++) { const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1)); const temp = nums[i]; nums[i] = nums[r]; nums[r] = temp; } return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ function findOne(nums) { for (let i = 0; i < nums.length; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] === 1) { return i; } } return -1; } ``` === "TS" ```typescript title="worst_best_time_complexity.ts" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ function randomNumbers(n: number): number[] { const nums = Array(n); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (let i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 for (let i = 0; i < n; i++) { const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1)); const temp = nums[i]; nums[i] = nums[r]; nums[r] = temp; } return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ function findOne(nums: number[]): number { for (let i = 0; i < nums.length; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] === 1) { return i; } } return -1; } ``` === "Dart" ```dart title="worst_best_time_complexity.dart" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ List randomNumbers(int n) { final nums = List.filled(n, 0); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (var i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 nums.shuffle(); return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(List nums) { for (var i = 0; i < nums.length; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Rust" ```rust title="worst_best_time_complexity.rs" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ fn random_numbers(n: i32) -> Vec { // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } let mut nums = (1..=n).collect::>(); // 随机打乱数组元素 nums.shuffle(&mut thread_rng()); nums } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ fn find_one(nums: &[i32]) -> Option { for i in 0..nums.len() { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if nums[i] == 1 { return Some(i); } } None } ``` === "C" ```c title="worst_best_time_complexity.c" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ int *randomNumbers(int n) { // 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为 n ，元素类型为 int ） int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int)); // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 随机打乱数组元素 for (int i = n - 1; i > 0; i--) { int j = rand() % (i + 1); int temp = nums[i]; nums[i] = nums[j]; nums[j] = temp; } return nums; } /* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */ int findOne(int *nums, int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="worst_best_time_complexity.kt" /* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */ fun randomNumbers(n: Int): Array { val nums = IntArray(n) // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (i in 0..(n) for (i in 0..): Int { for (i in nums.indices) { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (nums[i] == 1) return i } return -1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="worst_best_time_complexity.rb" ### 生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱 ### def random_numbers(n) # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n nums = Array.new(n) { |i| i + 1 } # 随机打乱数组元素 nums.shuffle! end ### 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 ### def find_one(nums) for i in 0...nums.length # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) # 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) return i if nums[i] == 1 end -1 end ``` === "Zig" ```zig title="worst_best_time_complexity.zig" // 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 { var nums: [n]i32 = undefined; // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (&nums, 0..) |*num, i| { num.* = @as(i32, @intCast(i)) + 1; } // 随机打乱数组元素 const rand = std.crypto.random; rand.shuffle(i32, &nums); return nums; } // 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 fn findOne(nums: []i32) i32 { for (nums, 0..) |num, i| { // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1) // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n) if (num == 1) return @intCast(i); } return -1; } ``` ??? pythontutor "可视化运行"
值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。**而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值**，让我们可以放心地使用算法。 从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。 对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。 但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。 !!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？" 可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。