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# 时间复杂度
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运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？
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1. **确定运行平台**，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
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2. **评估各种计算操作所需的运行时间**，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，打印操作 `print()` 需要 5 ns 等。
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3. **统计代码中所有的计算操作**，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。
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例如在以下代码中，输入数据大小为 $n$ ：
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=== "Python"
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```python title=""
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# 在某运行平台下
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def algorithm(n: int):
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a = 2 # 1 ns
|
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a = a + 1 # 1 ns
|
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|
a = a * 2 # 10 ns
|
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|
# 循环 n 次
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|
for _ in range(n): # 1 ns
|
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print(0) # 5 ns
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```
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=== "C++"
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|
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```cpp title=""
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|
// 在某运行平台下
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|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
cout << 0 << endl; // 5 ns
|
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|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
System.out.println(0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
void Algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
Console.WriteLine(0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
func algorithm(n int) {
|
|
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a := 2 // 1 ns
|
|
|
a = a + 1 // 1 ns
|
|
|
a = a * 2 // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns
|
|
|
fmt.Println(a) // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
func algorithm(n: Int) {
|
|
|
var a = 2 // 1 ns
|
|
|
a = a + 1 // 1 ns
|
|
|
a = a * 2 // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for _ in 0 ..< n { // 1 ns
|
|
|
print(0) // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
function algorithm(n) {
|
|
|
var a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
console.log(0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
function algorithm(n: number): void {
|
|
|
var a: number = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
console.log(0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
print(0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
fn algorithm(n: i32) {
|
|
|
let mut a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for _ in 0..n { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
println!("{}", 0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 2; // 1 ns
|
|
|
a = a + 1; // 1 ns
|
|
|
a = a * 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
|
|
|
printf("%d", 0); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
// 在某运行平台下
|
|
|
fn algorithm(n: usize) void {
|
|
|
var a: i32 = 2; // 1 ns
|
|
|
a += 1; // 1 ns
|
|
|
a *= 2; // 10 ns
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (0..n) |_| { // 1 ns
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0}); // 5 ns
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
根据以上方法，可以得到算法运行时间为 $(6n + 12)$ ns ：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
但实际上，**统计算法的运行时间既不合理也不现实**。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。
|
|
|
|
|
|
## 统计时间增长趋势
|
|
|
|
|
|
时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，**而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势**。
|
|
|
|
|
|
“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 $n$ ，给定三个算法函数 `A`、`B` 和 `C` ：
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|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title=""
|
|
|
# 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
def algorithm_A(n: int):
|
|
|
print(0)
|
|
|
# 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
def algorithm_B(n: int):
|
|
|
for _ in range(n):
|
|
|
print(0)
|
|
|
# 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
def algorithm_C(n: int):
|
|
|
for _ in range(1000000):
|
|
|
print(0)
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_A(int n) {
|
|
|
cout << 0 << endl;
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
void algorithm_B(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
cout << 0 << endl;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_C(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
cout << 0 << endl;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_A(int n) {
|
|
|
System.out.println(0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
void algorithm_B(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
System.out.println(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_C(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
System.out.println(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void AlgorithmA(int n) {
|
|
|
Console.WriteLine(0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
void AlgorithmB(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
Console.WriteLine(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void AlgorithmC(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
Console.WriteLine(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
func algorithm_A(n int) {
|
|
|
fmt.Println(0)
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
func algorithm_B(n int) {
|
|
|
for i := 0; i < n; i++ {
|
|
|
fmt.Println(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
func algorithm_C(n int) {
|
|
|
for i := 0; i < 1000000; i++ {
|
|
|
fmt.Println(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
func algorithmA(n: Int) {
|
|
|
print(0)
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
func algorithmB(n: Int) {
|
|
|
for _ in 0 ..< n {
|
|
|
print(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
func algorithmC(n: Int) {
|
|
|
for _ in 0 ..< 1000000 {
|
|
|
print(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
function algorithm_A(n) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
function algorithm_B(n) {
|
|
|
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
function algorithm_C(n) {
|
|
|
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
function algorithm_A(n: number): void {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
function algorithm_B(n: number): void {
|
|
|
for (let i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
function algorithm_C(n: number): void {
|
|
|
for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithmA(int n) {
|
|
|
print(0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
void algorithmB(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
print(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithmC(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
print(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
fn algorithm_A(n: i32) {
|
|
|
println!("{}", 0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
fn algorithm_B(n: i32) {
|
|
|
for _ in 0..n {
|
|
|
println!("{}", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
fn algorithm_C(n: i32) {
|
|
|
for _ in 0..1000000 {
|
|
|
println!("{}", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_A(int n) {
|
|
|
printf("%d", 0);
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
void algorithm_B(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) {
|
|
|
printf("%d", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
void algorithm_C(int n) {
|
|
|
for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
|
|
|
printf("%d", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
fn algorithm_A(n: usize) void {
|
|
|
_ = n;
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0});
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
|
|
|
fn algorithm_B(n: i32) void {
|
|
|
for (0..n) |_| {
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0});
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
|
|
|
fn algorithm_C(n: i32) void {
|
|
|
_ = n;
|
|
|
for (0..1000000) |_| {
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0});
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
下图展示了以上三个算法函数的时间复杂度。
|
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|
|
|
- 算法 `A` 只有 $1$ 个打印操作，算法运行时间不随着 $n$ 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
|
|
|
- 算法 `B` 中的打印操作需要循环 $n$ 次，算法运行时间随着 $n$ 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
|
|
|
- 算法 `C` 中的打印操作需要循环 $1000000$ 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 $n$ 无关。因此 `C` 的时间复杂度和 `A` 相同，仍为“常数阶”。
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？
|
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- **时间复杂度能够有效评估算法效率**。例如，算法 `B` 的运行时间呈线性增长，在 $n > 1$ 时比算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 时比算法 `C` 更慢。事实上，只要输入数据大小 $n$ 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。
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- **时间复杂度的推算方法更简便**。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
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- **时间复杂度也存在一定的局限性**。例如，尽管算法 `A` 和 `C` 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 `B` 的时间复杂度比 `C` 高，但在输入数据大小 $n$ 较小时，算法 `B` 明显优于算法 `C` 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。
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## 函数渐近上界
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给定一个输入大小为 $n$ 的函数：
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=== "Python"
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```python title=""
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def algorithm(n: int):
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a = 1 # +1
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a = a + 1 # +1
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a = a * 2 # +1
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# 循环 n 次
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for i in range(n): # +1
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print(0) # +1
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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void algorithm(int n) {
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int a = 1; // +1
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a = a + 1; // +1
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|
a = a * 2; // +1
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|
// 循环 n 次
|
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|
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
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cout << 0 << endl; // +1
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}
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|
}
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|
```
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=== "Java"
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```java title=""
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|
void algorithm(int n) {
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int a = 1; // +1
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a = a + 1; // +1
|
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|
a = a * 2; // +1
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|
// 循环 n 次
|
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|
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
|
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System.out.println(0); // +1
|
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}
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|
}
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|
```
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|
=== "C#"
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```csharp title=""
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|
void Algorithm(int n) {
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int a = 1; // +1
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|
a = a + 1; // +1
|
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|
a = a * 2; // +1
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|
// 循环 n 次
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|
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
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Console.WriteLine(0); // +1
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}
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}
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```
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=== "Go"
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```go title=""
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|
func algorithm(n int) {
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a := 1 // +1
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a = a + 1 // +1
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a = a * 2 // +1
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|
// 循环 n 次
|
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for i := 0; i < n; i++ { // +1
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|
fmt.Println(a) // +1
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}
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|
}
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```
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=== "Swift"
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|
|
|
```swift title=""
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|
|
func algorithm(n: Int) {
|
|
|
var a = 1 // +1
|
|
|
a = a + 1 // +1
|
|
|
a = a * 2 // +1
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|
// 循环 n 次
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|
for _ in 0 ..< n { // +1
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print(0) // +1
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}
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|
}
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|
```
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|
=== "JS"
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|
```javascript title=""
|
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|
function algorithm(n) {
|
|
|
var a = 1; // +1
|
|
|
a += 1; // +1
|
|
|
a *= 2; // +1
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
|
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|
console.log(0); // +1
|
|
|
}
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|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
function algorithm(n: number): void{
|
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|
var a: number = 1; // +1
|
|
|
a += 1; // +1
|
|
|
a *= 2; // +1
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
|
|
|
console.log(0); // +1
|
|
|
}
|
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|
}
|
|
|
```
|
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|
|
|
=== "Dart"
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|
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|
|
|
```dart title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +1
|
|
|
a = a + 1; // +1
|
|
|
a = a * 2; // +1
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
|
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|
print(0); // +1
|
|
|
}
|
|
|
}
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|
|
```
|
|
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|
|
=== "Rust"
|
|
|
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|
|
```rust title=""
|
|
|
fn algorithm(n: i32) {
|
|
|
let mut a = 1; // +1
|
|
|
a = a + 1; // +1
|
|
|
a = a * 2; // +1
|
|
|
|
|
|
// 循环 n 次
|
|
|
for _ in 0..n { // +1（每轮都执行 i ++）
|
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|
println!("{}", 0); // +1
|
|
|
}
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|
}
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|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
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|
```c title=""
|
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|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +1
|
|
|
a = a + 1; // +1
|
|
|
a = a * 2; // +1
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|
// 循环 n 次
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|
for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
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|
printf("%d", 0); // +1
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|
}
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|
}
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|
```
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|
=== "Zig"
|
|
|
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|
|
```zig title=""
|
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|
fn algorithm(n: usize) void {
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|
var a: i32 = 1; // +1
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|
a += 1; // +1
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|
a *= 2; // +1
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|
// 循环 n 次
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for (0..n) |_| { // +1（每轮都执行 i ++）
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std.debug.print("{}\n", .{0}); // +1
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}
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|
}
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```
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设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 $n$ 的函数，记为 $T(n)$ ，则以上函数的的操作数量为：
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$$
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T(n) = 3 + 2n
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$$
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$T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。
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我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 big-$O$ notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
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时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界，其具有明确的数学定义。
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!!! abstract "函数渐近上界"
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若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有 $T(n) \leq c \cdot f(n)$ ，则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为 $T(n) = O(f(n))$ 。
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如下图所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
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## 推算方法
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渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义就可以逐渐领悟。
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根据定义，确定 $f(n)$ 之后，我们便可得到时间复杂度 $O(f(n))$ 。那么如何确定渐近上界 $f(n)$ 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
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### 第一步：统计操作数量
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针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 $c \cdot f(n)$ 中的常数项 $c$ 可以取任意大小，**因此操作数量 $T(n)$ 中的各种系数、常数项都可以被忽略**。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。
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1. **忽略 $T(n)$ 中的常数项**。因为它们都与 $n$ 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
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2. **省略所有系数**。例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以简化记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。
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3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 `1.` 点和第 `2.` 点的技巧。
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给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。
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=== "Python"
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|
```python title=""
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|
def algorithm(n: int):
|
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|
a = 1 # +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n # +0（技巧 1）
|
|
|
# +n（技巧 2）
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|
for i in range(5 * n + 1):
|
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print(0)
|
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|
# +n*n（技巧 3）
|
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for i in range(2 * n):
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for j in range(n + 1):
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|
print(0)
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|
```
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|
=== "C++"
|
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|
|
```cpp title=""
|
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|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
cout << 0 << endl;
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
cout << 0 << endl;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title=""
|
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|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
System.out.println(0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
System.out.println(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
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|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
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|
=== "C#"
|
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|
```csharp title=""
|
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|
void Algorithm(int n) {
|
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|
int a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
Console.WriteLine(0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
Console.WriteLine(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
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|
```
|
|
|
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=== "Go"
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|
```go title=""
|
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|
func algorithm(n int) {
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|
|
a := 1 // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
|
|
|
fmt.Println(0)
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for i := 0; i < 2 * n; i++ {
|
|
|
for j := 0; j < n + 1; j++ {
|
|
|
fmt.Println(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title=""
|
|
|
func algorithm(n: Int) {
|
|
|
var a = 1 // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
|
|
|
print(0)
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for _ in 0 ..< (2 * n) {
|
|
|
for _ in 0 ..< (n + 1) {
|
|
|
print(0)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title=""
|
|
|
function algorithm(n) {
|
|
|
let a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title=""
|
|
|
function algorithm(n: number): void {
|
|
|
let a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
console.log(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
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|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
print(0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
print(0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title=""
|
|
|
fn algorithm(n: i32) {
|
|
|
let mut a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for i in 0..(5 * n + 1) {
|
|
|
println!("{}", 0);
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for i in 0..(2 * n) {
|
|
|
for j in 0..(n + 1) {
|
|
|
println!("{}", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title=""
|
|
|
void algorithm(int n) {
|
|
|
int a = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + n; // +0（技巧 1）
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
|
|
|
printf("%d", 0);
|
|
|
}
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
|
|
|
for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
|
|
|
printf("%d", 0);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title=""
|
|
|
fn algorithm(n: usize) void {
|
|
|
var a: i32 = 1; // +0（技巧 1）
|
|
|
a = a + @as(i32, @intCast(n)); // +0（技巧 1）
|
|
|
|
|
|
// +n（技巧 2）
|
|
|
for(0..(5 * n + 1)) |_| {
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0});
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
// +n*n（技巧 3）
|
|
|
for(0..(2 * n)) |_| {
|
|
|
for(0..(n + 1)) |_| {
|
|
|
std.debug.print("{}\n", .{0});
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
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以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。
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$$
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\begin{aligned}
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T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
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& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
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T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
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\end{aligned}
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$$
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### 第二步：判断渐近上界
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**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
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下表展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 $n$ 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。
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<p align="center"> 表 <id> 不同操作数量对应的时间复杂度 </p>
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| 操作数量 $T(n)$ | 时间复杂度 $O(f(n))$ |
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| ---------------------- | -------------------- |
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| $100000$ | $O(1)$ |
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| $3n + 2$ | $O(n)$ |
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| $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ |
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| $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ |
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| $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
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## 常见类型
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设输入数据大小为 $n$ ，常见的时间复杂度类型如下图所示（按照从低到高的顺序排列）。
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$$
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\begin{aligned}
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O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline
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\text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶}
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\end{aligned}
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$$
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### 常数阶 $O(1)$
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常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。
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在以下函数中，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与输入数据大小 $n$ 无关，因此时间复杂度仍为 $O(1)$ ：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{constant}
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```
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### 线性阶 $O(n)$
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线性阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{linear}
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```
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遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{array_traversal}
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```
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值得注意的是，**输入数据大小 $n$ 需根据输入数据的类型来具体确定**。比如在第一个示例中，变量 $n$ 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 $n$ 为数据大小。
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### 平方阶 $O(n^2)$
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平方阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ ：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{quadratic}
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```
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下图对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。
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以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{bubble_sort}
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```
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### 指数阶 $O(2^n)$
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生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 $1$ 个细胞，分裂一轮后变为 $2$ 个，分裂两轮后变为 $4$ 个，以此类推，分裂 $n$ 轮后有 $2^n$ 个细胞。
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下图和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{exponential}
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```
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在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 $n$ 次分裂后停止：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{exp_recur}
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```
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指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。
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### 对数阶 $O(\log n)$
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与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 $n$ ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函数。
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下图和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 $O(\log_2 n)$ ，简记为 $O(\log n)$ 。
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{logarithmic}
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```
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与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 $\log_2 n$ 的递归树：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{log_recur}
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```
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对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。
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!!! tip "$O(\log n)$ 的底数是多少？"
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准确来说，“一分为 $m$”对应的时间复杂度是 $O(\log_m n)$ 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度：
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$$
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O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n)
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$$
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也就是说，底数 $m$ 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 $m$ ，将对数阶直接记为 $O(\log n)$ 。
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### 线性对数阶 $O(n \log n)$
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线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。相关代码如下：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{linear_log_recur}
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```
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下图展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 $n$ ，树共有 $\log_2 n + 1$ 层，因此时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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主流排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。
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### 阶乘阶 $O(n!)$
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阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 $n$ 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：
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$$
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n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1
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$$
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阶乘通常使用递归实现。如下图和以下代码所示，第一层分裂出 $n$ 个，第二层分裂出 $n - 1$ 个，以此类推，直至第 $n$ 层时停止分裂：
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```src
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[file]{time_complexity}-[class]{}-[func]{factorial_recur}
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```
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请注意，因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
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## 最差、最佳、平均时间复杂度
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**算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。
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- 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即当末尾元素是 $1$ 时，需要完整遍历数组，**达到最差时间复杂度 $O(n)$** 。
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- 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个元素为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，**达到最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** 。
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“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 $O$ 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 $\Omega$ 记号表示：
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```src
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[file]{worst_best_time_complexity}-[class]{}-[func]{find_one}
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```
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值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。**而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值**，让我们可以放心地使用算法。
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从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
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对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。
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但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
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!!! question "为什么很少看到 $\Theta$ 符号？"
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可能由于 $O$ 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 $O(n)$”的表述，请将其直接理解为 $\Theta(n)$ 。
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