|
|
# 二元樹走訪
|
|
|
|
|
|
從物理結構的角度來看，樹是一種基於鏈結串列的資料結構，因此其走訪方式是透過指標逐個訪問節點。然而，樹是一種非線性資料結構，這使得走訪樹比走訪鏈結串列更加複雜，需要藉助搜尋演算法來實現。
|
|
|
|
|
|
二元樹常見的走訪方式包括層序走訪、前序走訪、中序走訪和後序走訪等。
|
|
|
|
|
|
## 層序走訪
|
|
|
|
|
|
如下圖所示，<u>層序走訪（level-order traversal）</u>從頂部到底部逐層走訪二元樹，並在每一層按照從左到右的順序訪問節點。
|
|
|
|
|
|
層序走訪本質上屬於<u>廣度優先走訪（breadth-first traversal）</u>，也稱<u>廣度優先搜尋（breadth-first search, BFS）</u>，它體現了一種“一圈一圈向外擴展”的逐層走訪方式。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 程式碼實現
|
|
|
|
|
|
廣度優先走訪通常藉助“佇列”來實現。佇列遵循“先進先出”的規則，而廣度優先走訪則遵循“逐層推進”的規則，兩者背後的思想是一致的。實現程式碼如下：
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 複雜度分析
|
|
|
|
|
|
- **時間複雜度為 $O(n)$** ：所有節點被訪問一次，使用 $O(n)$ 時間，其中 $n$ 為節點數量。
|
|
|
- **空間複雜度為 $O(n)$** ：在最差情況下，即滿二元樹時，走訪到最底層之前，佇列中最多同時存在 $(n + 1) / 2$ 個節點，佔用 $O(n)$ 空間。
|
|
|
|
|
|
## 前序、中序、後序走訪
|
|
|
|
|
|
相應地，前序、中序和後序走訪都屬於<u>深度優先走訪（depth-first traversal）</u>，也稱<u>深度優先搜尋（depth-first search, DFS）</u>，它體現了一種“先走到盡頭，再回溯繼續”的走訪方式。
|
|
|
|
|
|
下圖展示了對二元樹進行深度優先走訪的工作原理。**深度優先走訪就像是繞著整棵二元樹的外圍“走”一圈**，在每個節點都會遇到三個位置，分別對應前序走訪、中序走訪和後序走訪。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 程式碼實現
|
|
|
|
|
|
深度優先搜尋通常基於遞迴實現：
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
|
|
深度優先搜尋也可以基於迭代實現，有興趣的讀者可以自行研究。
|
|
|
|
|
|
下圖展示了前序走訪二元樹的遞迴過程，其可分為“遞”和“迴”兩個逆向的部分。
|
|
|
|
|
|
1. “遞”表示開啟新方法，程式在此過程中訪問下一個節點。
|
|
|
2. “迴”表示函式返回，代表當前節點已經訪問完畢。
|
|
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 複雜度分析
|
|
|
|
|
|
- **時間複雜度為 $O(n)$** ：所有節點被訪問一次，使用 $O(n)$ 時間。
|
|
|
- **空間複雜度為 $O(n)$** ：在最差情況下，即樹退化為鏈結串列時，遞迴深度達到 $n$ ，系統佔用 $O(n)$ 堆疊幀空間。
|
