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11.9 计数排序

「计数排序 counting sort」通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

11.9.1 简单实现

先来看一个简单的例子。给定一个长度为 n 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”，计数排序的整体流程如图 11-16 所示。

遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 m ，然后创建一个长度为 m + 1 的辅助数组 counter 。
借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 1 即可。
由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 nums 即可。

图 11-16 计数排序流程

=== "Python"

```python title="counting_sort.py"
def counting_sort_naive(nums: list[int]):
    """计数排序"""
    # 简单实现，无法用于排序对象
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = 0
    for num in nums:
        m = max(m, num)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    i = 0
    for num in range(m + 1):
        for _ in range(counter[num]):
            nums[i] = num
            i += 1
```

=== "C++"

```cpp title="counting_sort.cpp"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "Java"

```java title="counting_sort.java"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "C#"

```csharp title="counting_sort.cs"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    foreach (int num in nums) {
        m = Math.Max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    foreach (int num in nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "Go"

```go title="counting_sort.go"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    for i, num := 0, 0; num < m+1; num++ {
        for j := 0; j < counter[num]; j++ {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="counting_sort.swift"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums: inout [Int]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    var i = 0
    for num in stride(from: 0, to: m + 1, by: 1) {
        for _ in stride(from: 0, to: counter[num], by: 1) {
            nums[i] = num
            i += 1
        }
    }
}
```

=== "JS"

```javascript title="counting_sort.js"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter = new Array(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "TS"

```typescript title="counting_sort.ts"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums: number[]): void {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "Dart"

```dart title="counting_sort.dart"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(List<int> nums) {
  // 1. 统计数组最大元素 m
  int m = 0;
  for (int num in nums) {
    m = max(m, num);
  }
  // 2. 统计各数字的出现次数
  // counter[num] 代表 num 的出现次数
  List<int> counter = List.filled(m + 1, 0);
  for (int num in nums) {
    counter[num]++;
  }
  // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
  int i = 0;
  for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
    for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
      nums[i] = num;
    }
  }
}
```

=== "Rust"

```rust title="counting_sort.rs"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
fn counting_sort_naive(nums: &mut [i32]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = *nums.into_iter().max().unwrap();
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    let mut counter = vec![0; m as usize + 1];
    for &num in &*nums {
        counter[num as usize] += 1;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    let mut i = 0;
    for num in 0..m + 1 {
        for _ in 0..counter[num as usize] {
            nums[i] = num;
            i += 1;
        }
    }
}
```

=== "C"

```c title="counting_sort.c"
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int nums[], int size) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > m) {
            m = nums[i];
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int *counter = malloc(sizeof(int) * m);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        counter[nums[i]]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="counting_sort.zig"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```

!!! note "计数排序与桶排序的联系"

从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 `counter` 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。

11.9.2 完整实现

细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。假设输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的“前缀和”。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和：


\text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]}

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行以下两步。

将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处。
令前缀和 prefix[num] 减小 1 ，从而得到下次放置 num 的索引。

遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。图 11-17 展示了完整的计数排序流程。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

图 11-17 计数排序步骤

计数排序的实现代码如下所示。