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11.6 归并排序
「归并排序 merge sort」是一种基于分治策略的排序算法,包含图 11-10 所示的“划分”和“合并”阶段。
- 划分阶段:通过递归不断地将数组从中点处分开,将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题。
- 合并阶段:当子数组长度为 1 时终止划分,开始合并,持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组,直至结束。
图 11-10 归并排序的划分与合并阶段
11.6.1 算法流程
如图 11-11 所示,“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切分为两个子数组。
- 计算数组中点
mid
,递归划分左子数组(区间[left, mid]
)和右子数组(区间[mid + 1, right]
)。 - 递归执行步骤
1.
,直至子数组区间长度为 1 时,终止递归划分。
“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是,从长度为 1 的子数组开始合并,合并阶段中的每个子数组都是有序的。
图 11-11 归并排序步骤
观察发现,归并排序与二叉树后序遍历的递归顺序是一致的。
- 后序遍历:先递归左子树,再递归右子树,最后处理根节点。
- 归并排序:先递归左子数组,再递归右子数组,最后处理合并。
=== "Python"
```python title="merge_sort.py"
def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int):
"""合并左子数组和右子数组"""
# 左子数组区间 [left, mid]
# 右子数组区间 [mid + 1, right]
# 初始化辅助数组
tmp = list(nums[left : right + 1])
# 左子数组的起始索引和结束索引
left_start = 0
left_end = mid - left
# 右子数组的起始索引和结束索引
right_start = mid + 1 - left
right_end = right - left
# i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
i = left_start
j = right_start
# 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in range(left, right + 1):
# 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if i > left_end:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
# 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
nums[k] = tmp[i]
i += 1
# 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int):
"""归并排序"""
# 终止条件
if left >= right:
return # 当子数组长度为 1 时终止递归
# 划分阶段
mid = (left + right) // 2 # 计算中点
merge_sort(nums, left, mid) # 递归左子数组
merge_sort(nums, mid + 1, right) # 递归右子数组
# 合并阶段
merge(nums, left, mid, right)
```
=== "C++"
```cpp title="merge_sort.cpp"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(vector<int> &nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
vector<int> tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(vector<int> &nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Java"
```java title="merge_sort.java"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C#"
```csharp title="merge_sort.cs"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
int[] tmp = nums[left..(right + 1)];
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Go"
```go title="merge_sort.go"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums []int, left, mid, right int) {
// 初始化辅助数组 借助 copy 模块
tmp := make([]int, right-left+1)
for i := left; i <= right; i++ {
tmp[i-left] = nums[i]
}
// 左子数组的起始索引和结束索引
leftStart, leftEnd := left-left, mid-left
// 右子数组的起始索引和结束索引
rightStart, rightEnd := mid+1-left, right-left
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
i, j := leftStart, rightStart
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k := left; k <= right; k++ {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if i > leftEnd {
nums[k] = tmp[j]
j++
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
} else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
nums[k] = tmp[i]
i++
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j]
j++
}
}
}
/* 归并排序 */
func mergeSort(nums []int, left, right int) {
// 终止条件
if left >= right {
return
}
// 划分阶段
mid := (left + right) / 2
mergeSort(nums, left, mid)
mergeSort(nums, mid+1, right)
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right)
}
```
=== "Swift"
```swift title="merge_sort.swift"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {
// 初始化辅助数组
let tmp = Array(nums[left ..< (right + 1)])
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left
let leftEnd = mid - left
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left
let rightEnd = right - left
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
var i = leftStart
var j = rightStart
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in left ... right {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if i > leftEnd {
nums[k] = tmp[j]
j += 1
}
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
nums[k] = tmp[i]
i += 1
}
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else {
nums[k] = tmp[j]
j += 1
}
}
}
/* 归并排序 */
func mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
// 终止条件
if left >= right { // 当子数组长度为 1 时终止递归
return
}
// 划分阶段
let mid = (left + right) / 2 // 计算中点
mergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // 递归左子数组
mergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)
}
```
=== "JS"
```javascript title="merge_sort.js"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums, left, mid, right) {
// 初始化辅助数组
let tmp = nums.slice(left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left,
leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left,
rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let i = leftStart,
j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (let k = left; k <= right; k++) {
if (i > leftEnd) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
nums[k] = tmp[i++];
} else {
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
}
}
}
/* 归并排序 */
function mergeSort(nums, left, right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "TS"
```typescript title="merge_sort.ts"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {
// 初始化辅助数组
let tmp = nums.slice(left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left,
leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left,
rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let i = leftStart,
j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (let k = left; k <= right; k++) {
if (i > leftEnd) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j++];
}
}
}
/* 归并排序 */
function mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Dart"
```dart title="merge_sort.dart"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(List<int> nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
List<int> tmp = nums.sublist(left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(List<int> nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) ~/ 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Rust"
```rust title="merge_sort.rs"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: &mut [i32], left: usize, mid: usize, right: usize) {
// 初始化辅助数组
let tmp: Vec<i32> = nums[left..right + 1].to_vec();
// 左子数组的起始索引和结束索引
let (left_start, left_end) = (left - left, mid - left);
// 右子数组的起始索引和结束索引
let (right_start, right_end) = (mid + 1 - left, right-left);
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let (mut l_corrent, mut r_corrent) = (left_start, right_start);
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in left..right + 1 {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if l_corrent > left_end {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if r_corrent > right_end || tmp[l_corrent] <= tmp[r_corrent] {
nums[k] = tmp[l_corrent];
l_corrent += 1;
}
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else {
nums[k] = tmp[r_corrent];
r_corrent += 1;
}
}
}
/* 归并排序 */
fn merge_sort(left: usize, right: usize, nums: &mut [i32]) {
// 终止条件
if left >= right { return; } // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = (left + right) / 2; // 计算中点
merge_sort(left, mid, nums); // 递归左子数组
merge_sort(mid + 1, right, nums); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C"
```c title="merge_sort.c"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int *nums, int left, int mid, int right) {
int index;
// 初始化辅助数组
int tmp[right + 1 - left];
for (index = left; index < right + 1; index++) {
tmp[index - left] = nums[index];
}
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int *nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Zig"
```zig title="merge_sort.zig"
// 合并左子数组和右子数组
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: []i32, left: usize, mid: usize, right: usize) !void {
// 初始化辅助数组
var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
defer mem_arena.deinit();
const mem_allocator = mem_arena.allocator();
var tmp = try mem_allocator.alloc(i32, right + 1 - left);
std.mem.copy(i32, tmp, nums[left..right+1]);
// 左子数组的起始索引和结束索引
var leftStart = left - left;
var leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
var rightStart = mid + 1 - left;
var rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
var i = leftStart;
var j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
var k = left;
while (k <= right) : (k += 1) {
// 若“左子数组已全部合并完”,则选取右子数组元素,并且 j++
if (i > leftEnd) {
nums[k] = tmp[j];
j += 1;
// 否则,若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”,则选取左子数组元素,并且 i++
} else if (j > rightEnd or tmp[i] <= tmp[j]) {
nums[k] = tmp[i];
i += 1;
// 否则,若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”,则选取右子数组元素,并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j];
j += 1;
}
}
}
// 归并排序
fn mergeSort(nums: []i32, left: usize, right: usize) !void {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
var mid = (left + right) / 2; // 计算中点
try mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
try mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
try merge(nums, left, mid, right);
}
```
实现合并函数 merge()
存在以下难点。
- 需要特别注意各个变量的含义。
nums
的待合并区间为[left, right]
,但由于tmp
仅复制了nums
该区间的元素,因此tmp
对应区间为[0, right - left]
。 - 在比较
tmp[i]
和tmp[j]
的大小时,还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题,即i > leftEnd
和j > rightEnd
的情况。索引越界的优先级是最高的,如果左子数组已经被合并完了,那么不需要继续比较,直接合并右子数组元素即可。
11.6.2 算法特性
- 时间复杂度
O(n \log n)
、非自适应排序:划分产生高度为\log n
的递归树,每层合并的总操作数量为n
,因此总体时间复杂度为O(n \log n)
。 - 空间复杂度
O(n)
、非原地排序:递归深度为\log n
,使用O(\log n)
大小的栈帧空间。合并操作需要借助辅助数组实现,使用O(n)
大小的额外空间。 - 稳定排序:在合并过程中,相等元素的次序保持不变。
11.6.3 链表排序 *
对于链表,归并排序相较于其他排序算法具有显著优势,可以将链表排序任务的空间复杂度优化至 O(1)
。
- 划分阶段:可以通过使用“迭代”替代“递归”来实现链表划分工作,从而省去递归使用的栈帧空间。
- 合并阶段:在链表中,节点增删操作仅需改变引用(指针)即可实现,因此合并阶段(将两个短有序链表合并为一个长有序链表)无须创建额外链表。
具体实现细节比较复杂,有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。