|
|
---
|
|
|
comments: true
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
# 13.3 子集和问题
|
|
|
|
|
|
## 13.3.1 无重复元素的情况
|
|
|
|
|
|
!!! question
|
|
|
|
|
|
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。给定数组无重复元素，每个元素可以被选取多次。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
|
|
|
|
|
|
例如，输入集合 $\{3, 4, 5\}$ 和目标整数 $9$ ，解为 $\{3, 3, 3\}, \{4, 5\}$ 。需要注意以下两点。
|
|
|
|
|
|
- 输入集合中的元素可以被无限次重复选取。
|
|
|
- 子集不区分元素顺序，比如 $\{4, 5\}$ 和 $\{5, 4\}$ 是同一个子集。
|
|
|
|
|
|
### 1. 参考全排列解法
|
|
|
|
|
|
类似于全排列问题，我们可以把子集的生成过程想象成一系列选择的结果，并在选择过程中实时更新“元素和”，当元素和等于 `target` 时，就将子集记录至结果列表。
|
|
|
|
|
|
而与全排列问题不同的是，**本题集合中的元素可以被无限次选取**，因此无须借助 `selected` 布尔列表来记录元素是否已被选择。我们可以对全排列代码进行小幅修改，初步得到解题代码：
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="subset_sum_i_naive.py"
|
|
|
def backtrack(
|
|
|
state: list[int],
|
|
|
target: int,
|
|
|
total: int,
|
|
|
choices: list[int],
|
|
|
res: list[list[int]],
|
|
|
):
|
|
|
"""回溯算法：子集和 I"""
|
|
|
# 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if total == target:
|
|
|
res.append(list(state))
|
|
|
return
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
for i in range(len(choices)):
|
|
|
# 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if total + choices[i] > target:
|
|
|
continue
|
|
|
# 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
# 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res)
|
|
|
# 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop()
|
|
|
|
|
|
def subset_sum_i_naive(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
|
|
|
"""求解子集和 I（包含重复子集）"""
|
|
|
state = [] # 状态（子集）
|
|
|
total = 0 # 子集和
|
|
|
res = [] # 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res)
|
|
|
return res
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="subset_sum_i_naive.cpp"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(vector<int> &state, int target, int total, vector<int> &choices, vector<vector<int>> &res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total == target) {
|
|
|
res.push_back(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (size_t i = 0; i < choices.size(); i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.push_back(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop_back();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
vector<vector<int>> subsetSumINaive(vector<int> &nums, int target) {
|
|
|
vector<int> state; // 状态（子集）
|
|
|
int total = 0; // 子集和
|
|
|
vector<vector<int>> res; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="subset_sum_i_naive.java"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(List<Integer> state, int target, int total, int[] choices, List<List<Integer>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total == target) {
|
|
|
res.add(new ArrayList<>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.remove(state.size() - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
List<List<Integer>> subsetSumINaive(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
|
|
|
int total = 0; // 子集和
|
|
|
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="subset_sum_i_naive.cs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void Backtrack(List<int> state, int target, int total, int[] choices, List<List<int>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total == target) {
|
|
|
res.Add(new List<int>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.Add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
Backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.RemoveAt(state.Count - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
List<List<int>> SubsetSumINaive(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
int total = 0; // 子集和
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
Backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="subset_sum_i_naive.go"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
func backtrackSubsetSumINaive(total, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == total {
|
|
|
newState := append([]int{}, *state...)
|
|
|
*res = append(*res, newState)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for i := 0; i < len(*choices); i++ {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if total+(*choices)[i] > target {
|
|
|
continue
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
*state = append(*state, (*choices)[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrackSubsetSumINaive(total+(*choices)[i], target, state, choices, res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
*state = (*state)[:len(*state)-1]
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
func subsetSumINaive(nums []int, target int) [][]int {
|
|
|
state := make([]int, 0) // 状态（子集）
|
|
|
total := 0 // 子集和
|
|
|
res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrackSubsetSumINaive(total, target, &state, &nums, &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="subset_sum_i_naive.swift"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, total: Int, choices: [Int], res: inout [[Int]]) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if total == target {
|
|
|
res.append(state)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for i in stride(from: 0, to: choices.count, by: 1) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if total + choices[i] > target {
|
|
|
continue
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target, total: total + choices[i], choices: choices, res: &res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast()
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
func subsetSumINaive(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
|
|
|
var state: [Int] = [] // 状态（子集）
|
|
|
let total = 0 // 子集和
|
|
|
var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target, total: total, choices: nums, res: &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="subset_sum_i_naive.js"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
function backtrack(state, target, total, choices, res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total === target) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
function subsetSumINaive(nums, target) {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
const total = 0; // 子集和
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="subset_sum_i_naive.ts"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
function backtrack(
|
|
|
state: number[],
|
|
|
target: number,
|
|
|
total: number,
|
|
|
choices: number[],
|
|
|
res: number[][]
|
|
|
): void {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total === target) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (let i = 0; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
function subsetSumINaive(nums: number[], target: number): number[][] {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
const total = 0; // 子集和
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="subset_sum_i_naive.dart"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(
|
|
|
List<int> state,
|
|
|
int target,
|
|
|
int total,
|
|
|
List<int> choices,
|
|
|
List<List<int>> res,
|
|
|
) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total == target) {
|
|
|
res.add(List.from(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
List<List<int>> subsetSumINaive(List<int> nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
int total = 0; // 元素和
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="subset_sum_i_naive.rs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, total: i32, choices: &[i32], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if total == target {
|
|
|
res.push(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for i in 0..choices.len() {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if total + choices[i] > target {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state.clone(), target, total + choices[i], choices, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
fn subset_sum_i_naive(nums: &[i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
|
|
|
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
|
|
|
let total = 0; // 子集和
|
|
|
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, total, nums, &mut res);
|
|
|
res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="subset_sum_i_naive.c"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(int target, int total, int *choices, int choicesSize) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (total == target) {
|
|
|
for (int i = 0; i < stateSize; i++) {
|
|
|
res[resSize][i] = state[i];
|
|
|
}
|
|
|
resColSizes[resSize++] = stateSize;
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
|
|
|
// 剪枝：若子集和超过 target ，则跳过该选择
|
|
|
if (total + choices[i] > target) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新元素和 total
|
|
|
state[stateSize++] = choices[i];
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(target, total + choices[i], choices, choicesSize);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
stateSize--;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I（包含重复子集） */
|
|
|
void subsetSumINaive(int *nums, int numsSize, int target) {
|
|
|
resSize = 0; // 初始化解的数量为0
|
|
|
backtrack(target, 0, nums, numsSize);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="subset_sum_i_naive.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{backtrack}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{subsetSumINaive}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
??? pythontutor "可视化运行"
|
|
|
|
|
|
<div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20target%3A%20int,%0A%20%20%20%20total%3A%20int,%0A%20%20%20%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20total%20%3D%3D%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%B7%B3%E8%BF%87%E8%AF%A5%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20total%20%2B%20choices%5Bi%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%92%8C%20total%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20total%20%2B%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_i_naive%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%EF%BC%88%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20total%20%3D%200%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20total,%20nums,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B3,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_i_naive%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%AF%B7%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%AF%A5%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%9A%84%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%9B%86%E5%90%88%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
|
|
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20target%3A%20int,%0A%20%20%20%20total%3A%20int,%0A%20%20%20%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%0A%20%20%20%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D,%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20total%20%3D%3D%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E8%B7%B3%E8%BF%87%E8%AF%A5%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20total%20%2B%20choices%5Bi%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%92%8C%20total%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20total%20%2B%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_i_naive%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%EF%BC%88%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20total%20%3D%200%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20total,%20nums,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B3,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_i_naive%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%AF%B7%E6%B3%A8%E6%84%8F%EF%BC%8C%E8%AF%A5%E6%96%B9%E6%B3%95%E8%BE%93%E5%87%BA%E7%9A%84%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%9B%86%E5%90%88%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a>
|
|
|
|
|
|
向以上代码输入数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ ，输出结果为 $[3, 3, 3], [4, 5], [5, 4]$ 。**虽然成功找出了所有和为 $9$ 的子集，但其中存在重复的子集 $[4, 5]$ 和 $[5, 4]$** 。
|
|
|
|
|
|
这是因为搜索过程是区分选择顺序的，然而子集不区分选择顺序。如图 13-10 所示，先选 $4$ 后选 $5$ 与先选 $5$ 后选 $4$ 是不同的分支，但对应同一个子集。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 13-10 子集搜索与越界剪枝 </p>
|
|
|
|
|
|
为了去除重复子集，**一种直接的思路是对结果列表进行去重**。但这个方法效率很低，有两方面原因。
|
|
|
|
|
|
- 当数组元素较多，尤其是当 `target` 较大时，搜索过程会产生大量的重复子集。
|
|
|
- 比较子集（数组）的异同非常耗时，需要先排序数组，再比较数组中每个元素的异同。
|
|
|
|
|
|
### 2. 重复子集剪枝
|
|
|
|
|
|
**我们考虑在搜索过程中通过剪枝进行去重**。观察图 13-11 ，重复子集是在以不同顺序选择数组元素时产生的，例如以下情况。
|
|
|
|
|
|
1. 当第一轮和第二轮分别选择 $3$ 和 $4$ 时，会生成包含这两个元素的所有子集，记为 $[3, 4, \dots]$ 。
|
|
|
2. 之后，当第一轮选择 $4$ 时，**则第二轮应该跳过 $3$** ，因为该选择产生的子集 $[4, 3, \dots]$ 和第 `1.` 步中生成的子集完全重复。
|
|
|
|
|
|
在搜索过程中，每一层的选择都是从左到右被逐个尝试的，因此越靠右的分支被剪掉的越多。
|
|
|
|
|
|
1. 前两轮选择 $3$ 和 $5$ ，生成子集 $[3, 5, \dots]$ 。
|
|
|
2. 前两轮选择 $4$ 和 $5$ ，生成子集 $[4, 5, \dots]$ 。
|
|
|
3. 若第一轮选择 $5$ ，**则第二轮应该跳过 $3$ 和 $4$** ，因为子集 $[5, 3, \dots]$ 和 $[5, 4, \dots]$ 与第 `1.` 步和第 `2.` 步中描述的子集完全重复。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 13-11 不同选择顺序导致的重复子集 </p>
|
|
|
|
|
|
总结来看，给定输入数组 $[x_1, x_2, \dots, x_n]$ ，设搜索过程中的选择序列为 $[x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_m}]$ ，则该选择序列需要满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，**不满足该条件的选择序列都会造成重复，应当剪枝**。
|
|
|
|
|
|
### 3. 代码实现
|
|
|
|
|
|
为实现该剪枝，我们初始化变量 `start` ，用于指示遍历起始点。**当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i$ 开始遍历**。这样做就可以让选择序列满足 $i_1 \leq i_2 \leq \dots \leq i_m$ ，从而保证子集唯一。
|
|
|
|
|
|
除此之外，我们还对代码进行了以下两项优化。
|
|
|
|
|
|
- 在开启搜索前，先将数组 `nums` 排序。在遍历所有选择时，**当子集和超过 `target` 时直接结束循环**，因为后边的元素更大，其子集和一定超过 `target` 。
|
|
|
- 省去元素和变量 `total` ，**通过在 `target` 上执行减法来统计元素和**，当 `target` 等于 $0$ 时记录解。
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="subset_sum_i.py"
|
|
|
def backtrack(
|
|
|
state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
|
|
|
):
|
|
|
"""回溯算法：子集和 I"""
|
|
|
# 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0:
|
|
|
res.append(list(state))
|
|
|
return
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
# 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for i in range(start, len(choices)):
|
|
|
# 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
# 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0:
|
|
|
break
|
|
|
# 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
# 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res)
|
|
|
# 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop()
|
|
|
|
|
|
def subset_sum_i(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
|
|
|
"""求解子集和 I"""
|
|
|
state = [] # 状态（子集）
|
|
|
nums.sort() # 对 nums 进行排序
|
|
|
start = 0 # 遍历起始点
|
|
|
res = [] # 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res)
|
|
|
return res
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="subset_sum_i.cpp"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.push_back(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push_back(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop_back();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
vector<vector<int>> subsetSumI(vector<int> &nums, int target) {
|
|
|
vector<int> state; // 状态（子集）
|
|
|
sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
vector<vector<int>> res; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="subset_sum_i.java"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.add(new ArrayList<>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (int i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.remove(state.size() - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
List<List<Integer>> subsetSumI(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
|
|
|
Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="subset_sum_i.cs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void Backtrack(List<int> state, int target, int[] choices, int start, List<List<int>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.Add(new List<int>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (int i = start; i < choices.Length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.Add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
Backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.RemoveAt(state.Count - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
List<List<int>> SubsetSumI(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
Array.Sort(nums); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
Backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="subset_sum_i.go"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
func backtrackSubsetSumI(start, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
newState := append([]int{}, *state...)
|
|
|
*res = append(*res, newState)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for i := start; i < len(*choices); i++ {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target-(*choices)[i] < 0 {
|
|
|
break
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
*state = append(*state, (*choices)[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrackSubsetSumI(i, target-(*choices)[i], state, choices, res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
*state = (*state)[:len(*state)-1]
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
func subsetSumI(nums []int, target int) [][]int {
|
|
|
state := make([]int, 0) // 状态（子集）
|
|
|
sort.Ints(nums) // 对 nums 进行排序
|
|
|
start := 0 // 遍历起始点
|
|
|
res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrackSubsetSumI(start, target, &state, &nums, &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="subset_sum_i.swift"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, choices: [Int], start: Int, res: inout [[Int]]) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
res.append(state)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for i in stride(from: start, to: choices.count, by: 1) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0 {
|
|
|
break
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target - choices[i], choices: choices, start: i, res: &res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast()
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
func subsetSumI(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
|
|
|
var state: [Int] = [] // 状态（子集）
|
|
|
let nums = nums.sorted() // 对 nums 进行排序
|
|
|
let start = 0 // 遍历起始点
|
|
|
var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target, choices: nums, start: start, res: &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="subset_sum_i.js"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
function backtrack(state, target, choices, start, res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target === 0) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (let i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
function subsetSumI(nums, target) {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
|
|
|
const start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="subset_sum_i.ts"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
function backtrack(
|
|
|
state: number[],
|
|
|
target: number,
|
|
|
choices: number[],
|
|
|
start: number,
|
|
|
res: number[][]
|
|
|
): void {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target === 0) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (let i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
function subsetSumI(nums: number[], target: number): number[][] {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
|
|
|
const start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="subset_sum_i.dart"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(
|
|
|
List<int> state,
|
|
|
int target,
|
|
|
List<int> choices,
|
|
|
int start,
|
|
|
List<List<int>> res,
|
|
|
) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.add(List.from(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (int i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
List<List<int>> subsetSumI(List<int> nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="subset_sum_i.rs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
res.push(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for i in start..choices.len() {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0 {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
fn subset_sum_i(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
|
|
|
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
|
|
|
let start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
|
|
|
res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="subset_sum_i.c"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 I */
|
|
|
void backtrack(int target, int *choices, int choicesSize, int start) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
for (int i = 0; i < stateSize; ++i) {
|
|
|
res[resSize][i] = state[i];
|
|
|
}
|
|
|
resColSizes[resSize++] = stateSize;
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
for (int i = start; i < choicesSize; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state[stateSize] = choices[i];
|
|
|
stateSize++;
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(target - choices[i], choices, choicesSize, i);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
stateSize--;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 I */
|
|
|
void subsetSumI(int *nums, int numsSize, int target) {
|
|
|
qsort(nums, numsSize, sizeof(int), cmp); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
backtrack(target, nums, numsSize, start);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="subset_sum_i.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{backtrack}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{subsetSumI}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
??? pythontutor "可视化运行"
|
|
|
|
|
|
<div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20start%3A%20int,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20target%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%BA%8C%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E7%94%9F%E6%88%90%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28start,%20len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%80%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%BB%93%E6%9D%9F%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%99%E6%98%AF%E5%9B%A0%E4%B8%BA%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%8C%E5%90%8E%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9B%B4%E5%A4%A7%EF%BC%8C%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E4%B8%80%E5%AE%9A%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20target%20-%20choices%5Bi%5D%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%20target,%20start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target%20-%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20i,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20nums.sort%28%29%20%20%23%20%E5%AF%B9%20nums%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20start%20%3D%200%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%B5%B7%E5%A7%8B%E7%82%B9%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20nums,%20start,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B3,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_i%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
|
|
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20start%3A%20int,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20target%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%BA%8C%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E7%94%9F%E6%88%90%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28start,%20len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%80%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%BB%93%E6%9D%9F%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%99%E6%98%AF%E5%9B%A0%E4%B8%BA%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%8C%E5%90%8E%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9B%B4%E5%A4%A7%EF%BC%8C%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E4%B8%80%E5%AE%9A%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20target%20-%20choices%5Bi%5D%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%20target,%20start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target%20-%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20i,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20nums.sort%28%29%20%20%23%20%E5%AF%B9%20nums%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20start%20%3D%200%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%B5%B7%E5%A7%8B%E7%82%B9%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20nums,%20start,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B3,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_i%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a>
|
|
|
|
|
|
图 13-12 所示为将数组 $[3, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 输入以上代码后的整体回溯过程。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 13-12 子集和 I 回溯过程 </p>
|
|
|
|
|
|
## 13.3.2 考虑重复元素的情况
|
|
|
|
|
|
!!! question
|
|
|
|
|
|
给定一个正整数数组 `nums` 和一个目标正整数 `target` ，请找出所有可能的组合，使得组合中的元素和等于 `target` 。**给定数组可能包含重复元素，每个元素只可被选择一次**。请以列表形式返回这些组合，列表中不应包含重复组合。
|
|
|
|
|
|
相比于上题，**本题的输入数组可能包含重复元素**，这引入了新的问题。例如，给定数组 $[4, \hat{4}, 5]$ 和目标元素 $9$ ，则现有代码的输出结果为 $[4, 5], [\hat{4}, 5]$ ，出现了重复子集。
|
|
|
|
|
|
**造成这种重复的原因是相等元素在某轮中被多次选择**。在图 13-13 中，第一轮共有三个选择，其中两个都为 $4$ ，会产生两个重复的搜索分支，从而输出重复子集；同理，第二轮的两个 $4$ 也会产生重复子集。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 13-13 相等元素导致的重复子集 </p>
|
|
|
|
|
|
### 1. 相等元素剪枝
|
|
|
|
|
|
为解决此问题，**我们需要限制相等元素在每一轮中只能被选择一次**。实现方式比较巧妙：由于数组是已排序的，因此相等元素都是相邻的。这意味着在某轮选择中，若当前元素与其左边元素相等，则说明它已经被选择过，因此直接跳过当前元素。
|
|
|
|
|
|
与此同时，**本题规定每个数组元素只能被选择一次**。幸运的是，我们也可以利用变量 `start` 来满足该约束：当做出选择 $x_{i}$ 后，设定下一轮从索引 $i + 1$ 开始向后遍历。这样既能去除重复子集，也能避免重复选择元素。
|
|
|
|
|
|
### 2. 代码实现
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="subset_sum_ii.py"
|
|
|
def backtrack(
|
|
|
state: list[int], target: int, choices: list[int], start: int, res: list[list[int]]
|
|
|
):
|
|
|
"""回溯算法：子集和 II"""
|
|
|
# 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0:
|
|
|
res.append(list(state))
|
|
|
return
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
# 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
# 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for i in range(start, len(choices)):
|
|
|
# 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
# 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0:
|
|
|
break
|
|
|
# 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if i > start and choices[i] == choices[i - 1]:
|
|
|
continue
|
|
|
# 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
# 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res)
|
|
|
# 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop()
|
|
|
|
|
|
def subset_sum_ii(nums: list[int], target: int) -> list[list[int]]:
|
|
|
"""求解子集和 II"""
|
|
|
state = [] # 状态（子集）
|
|
|
nums.sort() # 对 nums 进行排序
|
|
|
start = 0 # 遍历起始点
|
|
|
res = [] # 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res)
|
|
|
return res
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="subset_sum_ii.cpp"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
void backtrack(vector<int> &state, int target, vector<int> &choices, int start, vector<vector<int>> &res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.push_back(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (int i = start; i < choices.size(); i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push_back(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop_back();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
vector<vector<int>> subsetSumII(vector<int> &nums, int target) {
|
|
|
vector<int> state; // 状态（子集）
|
|
|
sort(nums.begin(), nums.end()); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
vector<vector<int>> res; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="subset_sum_ii.java"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
void backtrack(List<Integer> state, int target, int[] choices, int start, List<List<Integer>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.add(new ArrayList<>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (int i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.remove(state.size() - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
List<List<Integer>> subsetSumII(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<Integer> state = new ArrayList<>(); // 状态（子集）
|
|
|
Arrays.sort(nums); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<Integer>> res = new ArrayList<>(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="subset_sum_ii.cs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
void Backtrack(List<int> state, int target, int[] choices, int start, List<List<int>> res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.Add(new List<int>(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (int i = start; i < choices.Length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.Add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
Backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.RemoveAt(state.Count - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
List<List<int>> SubsetSumII(int[] nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
Array.Sort(nums); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
Backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="subset_sum_ii.go"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
func backtrackSubsetSumII(start, target int, state, choices *[]int, res *[][]int) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
newState := append([]int{}, *state...)
|
|
|
*res = append(*res, newState)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for i := start; i < len(*choices); i++ {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target-(*choices)[i] < 0 {
|
|
|
break
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if i > start && (*choices)[i] == (*choices)[i-1] {
|
|
|
continue
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
*state = append(*state, (*choices)[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrackSubsetSumII(i+1, target-(*choices)[i], state, choices, res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
*state = (*state)[:len(*state)-1]
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
func subsetSumII(nums []int, target int) [][]int {
|
|
|
state := make([]int, 0) // 状态（子集）
|
|
|
sort.Ints(nums) // 对 nums 进行排序
|
|
|
start := 0 // 遍历起始点
|
|
|
res := make([][]int, 0) // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrackSubsetSumII(start, target, &state, &nums, &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="subset_sum_ii.swift"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
func backtrack(state: inout [Int], target: Int, choices: [Int], start: Int, res: inout [[Int]]) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
res.append(state)
|
|
|
return
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for i in stride(from: start, to: choices.count, by: 1) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0 {
|
|
|
break
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if i > start, choices[i] == choices[i - 1] {
|
|
|
continue
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.append(choices[i])
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target - choices[i], choices: choices, start: i + 1, res: &res)
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast()
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
func subsetSumII(nums: [Int], target: Int) -> [[Int]] {
|
|
|
var state: [Int] = [] // 状态（子集）
|
|
|
let nums = nums.sorted() // 对 nums 进行排序
|
|
|
let start = 0 // 遍历起始点
|
|
|
var res: [[Int]] = [] // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state: &state, target: target, choices: nums, start: start, res: &res)
|
|
|
return res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="subset_sum_ii.js"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
function backtrack(state, target, choices, start, res) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target === 0) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (let i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
function subsetSumII(nums, target) {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
|
|
|
const start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="subset_sum_ii.ts"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
function backtrack(
|
|
|
state: number[],
|
|
|
target: number,
|
|
|
choices: number[],
|
|
|
start: number,
|
|
|
res: number[][]
|
|
|
): void {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target === 0) {
|
|
|
res.push([...state]);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (let i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] === choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
function subsetSumII(nums: number[], target: number): number[][] {
|
|
|
const state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort((a, b) => a - b); // 对 nums 进行排序
|
|
|
const start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
const res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="subset_sum_ii.dart"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
void backtrack(
|
|
|
List<int> state,
|
|
|
int target,
|
|
|
List<int> choices,
|
|
|
int start,
|
|
|
List<List<int>> res,
|
|
|
) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
res.add(List.from(state));
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (int i = start; i < choices.length; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.add(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state, target - choices[i], choices, i + 1, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.removeLast();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
List<List<int>> subsetSumII(List<int> nums, int target) {
|
|
|
List<int> state = []; // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
|
|
|
int start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
List<List<int>> res = []; // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, res);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="subset_sum_ii.rs"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, target: i32, choices: &[i32], start: usize, res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if target == 0 {
|
|
|
res.push(state);
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for i in start..choices.len() {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接结束循环
|
|
|
// 这是因为数组已排序，后边元素更大，子集和一定超过 target
|
|
|
if target - choices[i] < 0 {
|
|
|
break;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if i > start && choices[i] == choices[i - 1] {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state.push(choices[i]);
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(state.clone(), target - choices[i], choices, i, res);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
state.pop();
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
fn subset_sum_ii(nums: &mut [i32], target: i32) -> Vec<Vec<i32>> {
|
|
|
let state = Vec::new(); // 状态（子集）
|
|
|
nums.sort(); // 对 nums 进行排序
|
|
|
let start = 0; // 遍历起始点
|
|
|
let mut res = Vec::new(); // 结果列表（子集列表）
|
|
|
backtrack(state, target, nums, start, &mut res);
|
|
|
res
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="subset_sum_ii.c"
|
|
|
/* 回溯算法：子集和 II */
|
|
|
void backtrack(int target, int *choices, int choicesSize, int start) {
|
|
|
// 子集和等于 target 时，记录解
|
|
|
if (target == 0) {
|
|
|
for (int i = 0; i < stateSize; i++) {
|
|
|
res[resSize][i] = state[i];
|
|
|
}
|
|
|
resColSizes[resSize++] = stateSize;
|
|
|
return;
|
|
|
}
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
// 剪枝二：从 start 开始遍历，避免生成重复子集
|
|
|
// 剪枝三：从 start 开始遍历，避免重复选择同一元素
|
|
|
for (int i = start; i < choicesSize; i++) {
|
|
|
// 剪枝一：若子集和超过 target ，则直接跳过
|
|
|
if (target - choices[i] < 0) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 剪枝四：如果该元素与左边元素相等，说明该搜索分支重复，直接跳过
|
|
|
if (i > start && choices[i] == choices[i - 1]) {
|
|
|
continue;
|
|
|
}
|
|
|
// 尝试：做出选择，更新 target, start
|
|
|
state[stateSize] = choices[i];
|
|
|
stateSize++;
|
|
|
// 进行下一轮选择
|
|
|
backtrack(target - choices[i], choices, choicesSize, i + 1);
|
|
|
// 回退：撤销选择，恢复到之前的状态
|
|
|
stateSize--;
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 求解子集和 II */
|
|
|
void subsetSumII(int *nums, int numsSize, int target) {
|
|
|
// 对 nums 进行排序
|
|
|
qsort(nums, numsSize, sizeof(int), cmp);
|
|
|
// 开始回溯
|
|
|
backtrack(target, nums, numsSize, 0);
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="subset_sum_ii.zig"
|
|
|
[class]{}-[func]{backtrack}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{subsetSumII}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
??? pythontutor "可视化运行"
|
|
|
|
|
|
<div style="height: 560px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20start%3A%20int,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20target%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%BA%8C%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E7%94%9F%E6%88%90%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%89%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%90%8C%E4%B8%80%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28start,%20len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%80%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%BB%93%E6%9D%9F%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%99%E6%98%AF%E5%9B%A0%E4%B8%BA%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%8C%E5%90%8E%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9B%B4%E5%A4%A7%EF%BC%8C%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E4%B8%80%E5%AE%9A%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20target%20-%20choices%5Bi%5D%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E5%9B%9B%EF%BC%9A%E5%A6%82%E6%9E%9C%E8%AF%A5%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%8E%E5%B7%A6%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E8%AF%A5%E6%90%9C%E7%B4%A2%E5%88%86%E6%94%AF%E9%87%8D%E5%A4%8D%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3E%20start%20and%20choices%5Bi%5D%20%3D%3D%20choices%5Bi%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%20target,%20start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target%20-%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20i%20%2B%201,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20nums.sort%28%29%20%20%23%20%E5%AF%B9%20nums%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20start%20%3D%200%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%B5%B7%E5%A7%8B%E7%82%B9%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20nums,%20start,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_ii%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
|
|
<a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20start%3A%20int,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20target%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20target%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%BA%8C%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E7%94%9F%E6%88%90%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%AD%90%E9%9B%86%0A%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%89%EF%BC%9A%E4%BB%8E%20start%20%E5%BC%80%E5%A7%8B%E9%81%8D%E5%8E%86%EF%BC%8C%E9%81%BF%E5%85%8D%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%90%8C%E4%B8%80%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28start,%20len%28choices%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E4%B8%80%EF%BC%9A%E8%8B%A5%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%20%EF%BC%8C%E5%88%99%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E7%BB%93%E6%9D%9F%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%99%E6%98%AF%E5%9B%A0%E4%B8%BA%E6%95%B0%E7%BB%84%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%EF%BC%8C%E5%90%8E%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%9B%B4%E5%A4%A7%EF%BC%8C%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%E4%B8%80%E5%AE%9A%E8%B6%85%E8%BF%87%20target%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20target%20-%20choices%5Bi%5D%20%3C%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%E5%9B%9B%EF%BC%9A%E5%A6%82%E6%9E%9C%E8%AF%A5%E5%85%83%E7%B4%A0%E4%B8%8E%E5%B7%A6%E8%BE%B9%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%8C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E8%AF%A5%E6%90%9C%E7%B4%A2%E5%88%86%E6%94%AF%E9%87%8D%E5%A4%8D%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%B7%B3%E8%BF%87%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20i%20%3E%20start%20and%20choices%5Bi%5D%20%3D%3D%20choices%5Bi%20-%201%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20continue%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%20target,%20start%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choices%5Bi%5D%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20target%20-%20choices%5Bi%5D,%20choices,%20i%20%2B%201,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20subset_sum_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%92%8C%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20state%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%8A%B6%E6%80%81%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%EF%BC%89%0A%20%20%20%20nums.sort%28%29%20%20%23%20%E5%AF%B9%20nums%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E6%8E%92%E5%BA%8F%0A%20%20%20%20start%20%3D%200%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E8%B5%B7%E5%A7%8B%E7%82%B9%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%20%20%23%20%E7%BB%93%E6%9E%9C%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%88%E5%AD%90%E9%9B%86%E5%88%97%E8%A1%A8%EF%BC%89%0A%20%20%20%20backtrack%28state,%20target,%20nums,%20start,%20res%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%204,%205%5D%0A%20%20%20%20target%20%3D%209%0A%20%20%20%20res%20%3D%20subset_sum_ii%28nums,%20target%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D,%20target%20%3D%20%7Btarget%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E5%92%8C%E7%AD%89%E4%BA%8E%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E5%AD%90%E9%9B%86%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=470&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=16&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a>
|
|
|
|
|
|
图 13-14 展示了数组 $[4, 4, 5]$ 和目标元素 $9$ 的回溯过程，共包含四种剪枝操作。请你将图示与代码注释相结合，理解整个搜索过程，以及每种剪枝操作是如何工作的。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 13-14 子集和 II 回溯过程 </p>
|
