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桶排序

「桶排序 Bucket Sort」考虑设置 k 个桶，并将 n 个元素根据大小分配到 k 个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，由于桶之间的大小关系的确定的，因此最后按照桶之间的顺序将元素依次展开即可。

假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 \frac{n}{k} ；如果使用「快速排序」来实现桶内排序，则排序单个桶使用 O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k}) 时间，排序所有桶使用 O(n \log\frac{n}{k}) 时间。当桶数量 k 比较大时，时间复杂度则趋向于 O(n) 。

!!! note 计数排序与桶排序的关系

**计数排序可以看作是桶排序的一种特例**。我们可以把计数排序中 `counter` 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把 $n$ 个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。

（图）

理论上桶排序的时间复杂度是 O(n) ，但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中，而这并不容易做到。假设想要把淘宝的 100 万件商品根据价格范围平均分配到 100 个桶中，而商品价格不是均匀分布的，例如 100 元以下的商品非常多、1000 元以上的商品非常少等。如果我们将价格区间平均划分为 100 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。为了实现平均分配，我们一般这样做：

• 先粗略设置分界线，将元素分配完后，把元素较多的桶继续划分为多个桶，直至所有桶内元素数量合理为止；该做法本质上是一个递归树；
• 如果我们提前知道商品价格的概率分布，则可以根据已知分布来设置每个桶的价格分界线；值得说明的是，数据分布不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种常见概率模型来近似，例如自然界的正态分布等；

（图）

另外，排序桶内元素需要选择一种合适的排序算法，比如快速排序。