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二分搜尋插入點
二分搜尋不僅可用於搜尋目標元素，還可用於解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。
無重複元素的情況
!!! question
給定一個長度為 $n$ 的有序陣列 `nums` 和一個元素 `target` ，陣列不存在重複元素。現將 `target` 插入陣列 `nums` 中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素 `target` ，則插入到其左方。請返回插入後 `target` 在陣列中的索引。示例如下圖所示。
如果想複用上一節的二分搜尋程式碼，則需要回答以下兩個問題。
問題一：當陣列中包含 target 時，插入點的索引是否是該元素的索引？
題目要求將 target 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 target 替換了原來 target 的位置。也就是說，當陣列包含 target 時，插入點的索引就是該 target 的索引。
問題二：當陣列中不存在 target 時，插入點是哪個元素的索引？
進一步思考二分搜尋過程：當 nums[m] < target 時 i 移動，這意味著指標 i 在向大於等於 target 的元素靠近。同理，指標 j 始終在向小於等於 target 的元素靠近。
因此二分結束時一定有：i 指向首個大於 target 的元素，j 指向首個小於 target 的元素。易得當陣列不包含 target 時，插入索引為 i 。程式碼如下所示：
[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}
存在重複元素的情況
!!! question
在上一題的基礎上，規定陣列可能包含重複元素，其餘不變。
假設陣列中存在多個 target ，則普通二分搜尋只能返回其中一個 target 的索引，而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 target。
題目要求將目標元素插入到最左邊，所以我們需要查詢陣列中最左一個 target 的索引。初步考慮透過下圖所示的步驟實現。
- 執行二分搜尋，得到任意一個
target的索引，記為k。 - 從索引
k開始，向左進行線性走訪，當找到最左邊的target時返回。
此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為 O(n) 。當陣列中存在很多重複的 target 時，該方法效率很低。
現考慮拓展二分搜尋程式碼。如下圖所示，整體流程保持不變，每輪先計算中點索引 m ，再判斷 target 和 nums[m] 的大小關係，分為以下幾種情況。
- 當
nums[m] < target或nums[m] > target時，說明還沒有找到target，因此採用普通二分搜尋的縮小區間操作，從而使指標i和j向target靠近。 - 當
nums[m] == target時，說明小於target的元素在區間[i, m - 1]中，因此採用j = m - 1來縮小區間，從而使指標j向小於target的元素靠近。
迴圈完成後，i 指向最左邊的 target ，j 指向首個小於 target 的元素，因此索引 i 就是插入點。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
觀察以下程式碼，判斷分支 nums[m] > target 和 nums[m] == target 的操作相同，因此兩者可以合併。
即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為其邏輯更加清晰、可讀性更好。
[file]{binary_search_insertion}-[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
!!! tip
本節的程式碼都是“雙閉區間”寫法。有興趣的讀者可以自行實現“左閉右開”寫法。
總的來看，二分搜尋無非就是給指標 i 和 j 分別設定搜尋目標，目標可能是一個具體的元素（例如 target ），也可能是一個元素範圍（例如小於 target 的元素）。
在不斷的迴圈二分中，指標 i 和 j 都逐漸逼近預先設定的目標。最終，它們或是成功找到答案，或是越過邊界後停止。