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二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。

=== "Java"

```java title=""
/* 链表结点类 */
class TreeNode {
    int val;         // 结点值
    TreeNode left;   // 左子结点指针
    TreeNode right;  // 右子结点指针
    TreeNode(int x) { val = x; }
}
```

=== "C++"

```cpp title=""
/* 链表结点结构体 */
struct TreeNode {
    int val;          // 结点值
    TreeNode *left;   // 左子结点指针
    TreeNode *right;  // 右子结点指针
    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
};
```

=== "Python"

```python title=""
""" 链表结点类 """
class TreeNode:
    def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
        self.val = val      # 结点值
        self.left = left    # 左子结点指针
        self.right = right  # 右子结点指针
```

=== "Go"

```go title=""
""" 链表结点类 """
type TreeNode struct {
    Val   int
    Left  *TreeNode
    Right *TreeNode
}
""" 结点初始化方法 """
func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
    return &TreeNode{
        Left:  nil,
        Right: nil,
        Val:   v,
    }
}
```

=== "JavaScript"

```js title=""
/* 链表结点类 */
function TreeNode(val, left, right) {
    this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
    this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
    this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
}
```

=== "TypeScript"

```typescript title=""
/* 链表结点类 */
class TreeNode {
    val: number;
    left: TreeNode | null;
    right: TreeNode | null;

    constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
        this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
        this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
        this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
    }
}
```

=== "C"

```c title=""

```

=== "C#"

```csharp title=""

```

结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。

Fig. 子结点与子树

需要注意，父结点、子结点、子树是可以向下递推的。例如，如果将上图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 以下的树」和「结点 5 以下的树」。

二叉树常见术语

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

• 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
• 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 \text{null} ；
• 结点所处「层 Level」：从顶置底依次增加，根结点所处层为 1 ；
• 结点「度 Degree」：结点的子结点数量，二叉树中度的范围是 0, 1, 2 ；
• 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
• 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
• 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
• 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；

Fig. 二叉树的常见术语

!!! tip "高度与深度的定义"

值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

二叉树基本操作

初始化二叉树。 与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
// 初始化结点
TreeNode n1 = new TreeNode(1);
TreeNode n2 = new TreeNode(2);
TreeNode n3 = new TreeNode(3);
TreeNode n4 = new TreeNode(4);
TreeNode n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1->left = n2;
n1->right = n3;
n2->left = n4;
n2->right = n5;
```

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"

```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
n1 := NewTreeNode(1)
n2 := NewTreeNode(2)
n3 := NewTreeNode(3)
n4 := NewTreeNode(4)
n5 := NewTreeNode(5)
// 构建引用指向（即指针）
n1.Left = n2
n1.Right = n3
n2.Left = n4
n2.Right = n5
```

=== "JavaScript"

```js title="binary_tree.js"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* 初始化二叉树 */
// 初始化结点
let n1 = new TreeNode(1),
    n2 = new TreeNode(2),
    n3 = new TreeNode(3),
    n4 = new TreeNode(4),
    n5 = new TreeNode(5);
// 构建引用指向（即指针）
n1.left = n2;
n1.right = n3;
n2.left = n4;
n2.right = n5;
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"

```

插入与删除结点。 与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。

Fig. 在二叉树中插入与删除结点

=== "Java"

```java title="binary_tree.java"
TreeNode P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree.cpp"
/* 插入与删除结点 */
TreeNode* P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1->left = P;
P->left = n2;
// 删除结点 P
n1->left = n2;
```

=== "Python"

```python title="binary_tree.py"

```

=== "Go"

```go title="binary_tree.go"
/* 插入与删除结点 */
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
p := NewTreeNode(0)
n1.Left = p
p.Left = n2
// 删除结点 P
n1.Left = n2
```

=== "JavaScript"

```js title="binary_tree.js"
/* 插入与删除结点 */
let P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;
```

=== "TypeScript"

```typescript title="binary_tree.ts"
/* 插入与删除结点 */
const P = new TreeNode(0);
// 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
n1.left = P;
P.left = n2;
// 删除结点 P
n1.left = n2;
```

=== "C"

```c title="binary_tree.c"

```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree.cs"

```

!!! note

插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

常见二叉树类型

完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 = h ，则结点总数 = 2^{h+1} - 1 ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。

!!! tip

在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。

完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。

完全二叉树非常适合用数组来表示。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 null 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。

完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。

平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 \leq 1 。

二叉树的退化

当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

• 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
• 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 O(n) ；

Fig. 二叉树的最佳和最差结构

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。

	完美二叉树	链表
第 i 层的结点数量	2^{i-1}	1
树的高度为 h 时的叶结点数量	2^h	1
树的高度为 h 时的结点总数	2^{h+1} - 1	h + 1
树的结点总数为 n 时的高度	\log_2 (n+1) - 1	n - 1