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6.2. 哈希冲突

上节提到，通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间，因此哈希冲突是不可避免的。例如，输入空间为全体整数，输出空间为数组容量大小，则必然有多个整数映射至同一数组索引。

哈希冲突会导致查询结果错误，严重影响哈希表的可用性。为解决该问题，我们可以每当遇到哈希冲突时就进行哈希表扩容，直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效，但效率太低，因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率，我们换一种思路：

改良哈希表数据结构，使得哈希表可以在存在哈希冲突时正常工作。
仅在必要时，即当哈希冲突比较严重时，执行扩容操作。

哈希表的结构改良方法主要包括链式地址和开放寻址。

6.2.1. 链式地址

在原始哈希表中，每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 Separate Chaining」将单个元素转换为链表，将键值对作为链表节点，将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。

Fig. 链式地址哈希表

链式地址下，哈希表的操作方法包括：

查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头节点，然后遍历链表并对比 key 以查找目标键值对。
添加元素：先通过哈希函数访问链表头节点，然后将节点（即键值对）添加到链表中。
删除元素：根据哈希函数的结果访问链表头部，接着遍历链表以查找目标节点，并将其删除。

该方法存在一些局限性，包括：

占用空间增大，由于链表或二叉树包含节点指针，相比数组更加耗费内存空间；
查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；

以下给出了链式地址哈希表的简单实现，需要注意：

为了使得代码尽量简短，我们使用列表（动态数组）代替链表。换句话说，哈希表（数组）包含多个桶，每个桶都是一个列表。
以下代码实现了哈希表扩容方法。具体来看，当负载因子超过 0.75 时，我们将哈希表扩容至 2 倍。

=== "Java"

```java title="hash_map_chaining.java"
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
    int size; // 键值对数量
    int capacity; // 哈希表容量
    double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio; // 扩容倍数
    List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

    /* 构造方法 */
    public HashMapChaining() {
        size = 0;
        capacity = 4;
        loadThres = 2 / 3.0;
        extendRatio = 2;
        buckets = new ArrayList<>(capacity);
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            buckets.add(new ArrayList<>());
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return (double) size / capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    String get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets.get(index);
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for (Pair pair : bucket) {
            if (pair.key == key) {
                return pair.val;
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回 null
        return null;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, String val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets.get(index);
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for (Pair pair : bucket) {
            if (pair.key == key) {
                pair.val = val;
                return;
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        Pair pair = new Pair(key, val);
        bucket.add(pair);
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        List<Pair> bucket = buckets.get(index);
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for (Pair pair : bucket) {
            if (pair.key == key)
                bucket.remove(pair);
        }
        size--;
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = new ArrayList<>(capacity);
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            buckets.add(new ArrayList<>());
        }
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (List<Pair> bucket : bucketsTmp) {
            for (Pair pair : bucket) {
                put(pair.key, pair.val);
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (List<Pair> bucket : buckets) {
            List<String> res = new ArrayList<>();
            for (Pair pair : bucket) {
                res.add(pair.key + " -> " + pair.val);
            }
            System.out.println(res);
        }
    }
}
```

=== "C++"

```cpp title="hash_map_chaining.cpp"
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
  private:
    int size;                       // 键值对数量
    int capacity;                   // 哈希表容量
    double loadThres;               // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio;                // 扩容倍数
    vector<vector<Pair *>> buckets; // 桶数组

  public:
    /* 构造方法 */
    HashMapChaining() : size(0), capacity(4), loadThres(2.0 / 3), extendRatio(2) {
        buckets.resize(capacity);
    }

    /* 哈希函数 */
    int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    double loadFactor() {
        return (double)size / (double)capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                return pair->val;
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回 nullptr
        return nullptr;
    }

    /* 添加操作 */
    void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for (Pair *pair : buckets[index]) {
            if (pair->key == key) {
                pair->val = val;
                return;
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        buckets[index].push_back(new Pair(key, val));
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        auto &bucket = buckets[index];
        // 遍历桶，从中删除键值对
        for (int i = 0; i < bucket.size(); i++) {
            if (bucket[i]->key == key) {
                Pair *tmp = bucket[i];
                bucket.erase(bucket.begin() + i); // 从中删除键值对
                delete tmp;                       // 释放内存
                size--;
                return;
            }
        }
    }

    /* 扩容哈希表 */
    void extend() {
        // 暂存原哈希表
        vector<vector<Pair *>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets.clear();
        buckets.resize(capacity);
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for (auto &bucket : bucketsTmp) {
            for (Pair *pair : bucket) {
                put(pair->key, pair->val);
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    void print() {
        for (auto &bucket : buckets) {
            cout << "[";
            for (Pair *pair : bucket) {
                cout << pair->key << " -> " << pair->val << ", ";
            }
            cout << "]\n";
        }
    }
};
```

=== "Python"

```python title="hash_map_chaining.py"
class HashMapChaining:
    """链式地址哈希表"""

    def __init__(self):
        """构造方法"""
        self.size = 0  # 键值对数量
        self.capacity = 4  # 哈希表容量
        self.load_thres = 2 / 3  # 触发扩容的负载因子阈值
        self.extend_ratio = 2  # 扩容倍数
        self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)]  # 桶数组

    def hash_func(self, key: int) -> int:
        """哈希函数"""
        return key % self.capacity

    def load_factor(self) -> float:
        """负载因子"""
        return self.size / self.capacity

    def get(self, key: int) -> str:
        """查询操作"""
        index = self.hash_func(key)
        bucket = self.buckets[index]
        # 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        for pair in bucket:
            if pair.key == key:
                return pair.val
        # 若未找到 key 则返回 None
        return None

    def put(self, key: int, val: str):
        """添加操作"""
        # 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if self.load_factor() > self.load_thres:
            self.extend()
        index = self.hash_func(key)
        bucket = self.buckets[index]
        # 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        for pair in bucket:
            if pair.key == key:
                pair.val = val
                return
        # 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        pair = Pair(key, val)
        bucket.append(pair)
        self.size += 1

    def remove(self, key: int):
        """删除操作"""
        index = self.hash_func(key)
        bucket = self.buckets[index]
        # 遍历桶，从中删除键值对
        for pair in bucket:
            if pair.key == key:
                bucket.remove(pair)
                self.size -= 1
                return

    def extend(self):
        """扩容哈希表"""
        # 暂存原哈希表
        buckets = self.buckets
        # 初始化扩容后的新哈希表
        self.capacity *= self.extend_ratio
        self.buckets = [[] for _ in range(self.capacity)]
        self.size = 0
        # 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        for bucket in buckets:
            for pair in bucket:
                self.put(pair.key, pair.val)

    def print(self):
        """打印哈希表"""
        for bucket in self.buckets:
            res = []
            for pair in bucket:
                res.append(str(pair.key) + " -> " + pair.val)
            print(res)
```

=== "Go"

```go title="hash_map_chaining.go"
/* 链式地址哈希表 */
type hashMapChaining struct {
    size        int      // 键值对数量
    capacity    int      // 哈希表容量
    loadThres   float64  // 触发扩容的负载因子阈值
    extendRatio int      // 扩容倍数
    buckets     [][]pair // 桶数组
}

/* 构造方法 */
func newHashMapChaining() *hashMapChaining {
    buckets := make([][]pair, 4)
    for i := 0; i < 4; i++ {
        buckets[i] = make([]pair, 0)
    }
    return &hashMapChaining{
        size:        0,
        capacity:    4,
        loadThres:   2 / 3.0,
        extendRatio: 2,
        buckets:     buckets,
    }
}

/* 哈希函数 */
func (m *hashMapChaining) hashFunc(key int) int {
    return key % m.capacity
}

/* 负载因子 */
func (m *hashMapChaining) loadFactor() float64 {
    return float64(m.size / m.capacity)
}

/* 查询操作 */
func (m *hashMapChaining) get(key int) string {
    idx := m.hashFunc(key)
    bucket := m.buckets[idx]
    // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
    for _, p := range bucket {
        if p.key == key {
            return p.val
        }
    }
    // 若未找到 key 则返回空字符串
    return ""
}

/* 添加操作 */
func (m *hashMapChaining) put(key int, val string) {
    // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
    if m.loadFactor() > m.loadThres {
        m.extend()
    }
    idx := m.hashFunc(key)
    // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
    for _, p := range m.buckets[idx] {
        if p.key == key {
            p.val = val
            return
        }
    }
    // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
    p := pair{
        key: key,
        val: val,
    }
    m.buckets[idx] = append(m.buckets[idx], p)
    m.size += 1
}

/* 删除操作 */
func (m *hashMapChaining) remove(key int) {
    idx := m.hashFunc(key)
    // 遍历桶，从中删除键值对
    for i, p := range m.buckets[idx] {
        if p.key == key {
            // 切片删除
            m.buckets[idx] = append(m.buckets[idx][:i], m.buckets[idx][i+1:]...)
            break
        }
    }
    m.size -= 1
}

/* 扩容哈希表 */
func (m *hashMapChaining) extend() {
    // 暂存原哈希表
    tmpBuckets := make([][]pair, len(m.buckets))
    for i := 0; i < len(m.buckets); i++ {
        tmpBuckets[i] = make([]pair, len(m.buckets[i]))
        copy(tmpBuckets[i], m.buckets[i])
    }
    // 初始化扩容后的新哈希表
    m.capacity *= m.extendRatio
    m.buckets = make([][]pair, m.capacity)
    for i := 0; i < m.capacity; i++ {
        m.buckets[i] = make([]pair, 0)
    }
    m.size = 0
    // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
    for _, bucket := range tmpBuckets {
        for _, p := range bucket {
            m.put(p.key, p.val)
        }
    }
}

/* 打印哈希表 */
func (m *hashMapChaining) print() {
    var builder strings.Builder

    for _, bucket := range m.buckets {
        builder.WriteString("[")
        for _, p := range bucket {
            builder.WriteString(strconv.Itoa(p.key) + " -> " + p.val + " ")
        }
        builder.WriteString("]")
        fmt.Println(builder.String())
        builder.Reset()
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="hash_map_chaining.js"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="hash_map_chaining.ts"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C"

```c title="hash_map_chaining.c"
[class]{hashMapChaining}-[func]{}
```

=== "C#"

```csharp title="hash_map_chaining.cs"
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
    int size; // 键值对数量
    int capacity; // 哈希表容量
    double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
    int extendRatio; // 扩容倍数
    List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

    /* 构造方法 */
    public HashMapChaining() {
        size = 0;
        capacity = 4;
        loadThres = 2 / 3.0;
        extendRatio = 2;
        buckets = new List<List<Pair>>(capacity);
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            buckets.Add(new List<Pair>());
        }
    }

    /* 哈希函数 */
    private int hashFunc(int key) {
        return key % capacity;
    }

    /* 负载因子 */
    private double loadFactor() {
        return (double)size / capacity;
    }

    /* 查询操作 */
    public string get(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
        foreach (Pair pair in buckets[index]) {
            if (pair.key == key) {
                return pair.val;
            }
        }
        // 若未找到 key 则返回 null
        return null;
    }

    /* 添加操作 */
    public void put(int key, string val) {
        // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
        if (loadFactor() > loadThres) {
            extend();
        }
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
        foreach (Pair pair in buckets[index]) {
            if (pair.key == key) {
                pair.val = val;
                return;
            }
        }
        // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
        buckets[index].Add(new Pair(key, val));
        size++;
    }

    /* 删除操作 */
    public void remove(int key) {
        int index = hashFunc(key);
        // 遍历桶，从中删除键值对
        foreach (Pair pair in buckets[index].ToList()) { 
            if (pair.key == key) {
                buckets[index].Remove(pair);
            }
        }
        size--;   
    }

    /* 扩容哈希表 */
    private void extend() {
        // 暂存原哈希表
        List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
        // 初始化扩容后的新哈希表
        capacity *= extendRatio;
        buckets = new List<List<Pair>>(capacity);
        for (int i = 0; i < capacity; i++) {
            buckets.Add(new List<Pair>());
        }
        size = 0;
        // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
        foreach (List<Pair> bucket in bucketsTmp) {
            foreach (Pair pair in bucket) {
                put(pair.key, pair.val);
            }
        }
    }

    /* 打印哈希表 */
    public void print() {
        foreach (List<Pair> bucket in buckets) {
            List<string> res = new List<string>();
            foreach (Pair pair in bucket) {
                res.Add(pair.key + " -> " + pair.val);
            }
            foreach (string kv in res) {
                Console.WriteLine(kv);
            }
        }
    }
}
```

=== "Swift"

```swift title="hash_map_chaining.swift"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Zig"

```zig title="hash_map_chaining.zig"
[class]{HashMapChaining}-[func]{}
```

=== "Dart"

```dart title="hash_map_chaining.dart"
/* 链式地址哈希表 */
class HashMapChaining {
  late int size; // 键值对数量
  late int capacity; // 哈希表容量
  late double loadThres; // 触发扩容的负载因子阈值
  late int extendRatio; // 扩容倍数
  late List<List<Pair>> buckets; // 桶数组

  /* 构造方法 */
  HashMapChaining() {
    size = 0;
    capacity = 4;
    loadThres = 2 / 3.0;
    extendRatio = 2;
    buckets = List.generate(capacity, (_) => []);
  }

  /* 哈希函数 */
  int hashFunc(int key) {
    return key % capacity;
  }

  /* 负载因子 */
  double loadFactor() {
    return size / capacity;
  }

  /* 查询操作 */
  String? get(int key) {
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets[index];
    // 遍历桶，若找到 key 则返回对应 val
    for (Pair pair in bucket) {
      if (pair.key == key) {
        return pair.val;
      }
    }
    // 若未找到 key 则返回 null
    return null;
  }

  /* 添加操作 */
  void put(int key, String val) {
    // 当负载因子超过阈值时，执行扩容
    if (loadFactor() > loadThres) {
      extend();
    }
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets[index];
    // 遍历桶，若遇到指定 key ，则更新对应 val 并返回
    for (Pair pair in bucket) {
      if (pair.key == key) {
        pair.val = val;
        return;
      }
    }
    // 若无该 key ，则将键值对添加至尾部
    Pair pair = Pair(key, val);
    bucket.add(pair);
    size++;
  }

  /* 删除操作 */
  void remove(int key) {
    int index = hashFunc(key);
    List<Pair> bucket = buckets[index];
    // 遍历桶，从中删除键值对
    bucket.removeWhere((Pair pair) => pair.key == key);
    size--;
  }

  /* 扩容哈希表 */
  void extend() {
    // 暂存原哈希表
    List<List<Pair>> bucketsTmp = buckets;
    // 初始化扩容后的新哈希表
    capacity *= extendRatio;
    buckets = List.generate(capacity, (_) => []);
    size = 0;
    // 将键值对从原哈希表搬运至新哈希表
    for (List<Pair> bucket in bucketsTmp) {
      for (Pair pair in bucket) {
        put(pair.key, pair.val);
      }
    }
  }

  /* 打印哈希表 */
  void printHashMap() {
    for (List<Pair> bucket in buckets) {
      List<String> res = [];
      for (Pair pair in bucket) {
        res.add("${pair.key} -> ${pair.val}");
      }
      print(res);
    }
  }
}
```

!!! tip

为了提高效率，**我们可以将链表转换为「AVL 树」或「红黑树」**，从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。

6.2.2. 开放寻址

「开放寻址 Open Addressing」不引入额外的数据结构，而是通过“多次探测”来处理哈希冲突，探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希。

线性探测

线性探测采用固定步长的线性查找来进行探测，对应的哈希表操作方法为：

插入元素：通过哈希函数计算数组索引，若发现桶内已有元素，则从冲突位置向后线性遍历（步长通常为 1 ），直至找到空位，将元素插入其中。
查找元素：若发现哈希冲突，则使用相同步长向后线性遍历，直到找到对应元素，返回 value 即可；或者若遇到空位，说明目标键值对不在哈希表中，返回 \text{None} 。

Fig. 线性探测

然而，线性探测存在以下缺陷：

不能直接删除元素。删除元素会在数组内产生一个空位，查找其他元素时，该空位可能导致程序误判元素不存在。因此，需要借助一个标志位来标记已删除元素。
容易产生聚集。数组内连续被占用位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，进一步促使这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率降低。

如以下代码所示，为开放寻址（线性探测）哈希表的简单实现，重点包括：

我们使用一个固定的键值对实例 removed 来标记已删除元素。也就是说，当一个桶为 \text{None} 或 removed 时，这个桶都是空的，可用于放置键值对。
被标记为已删除的空间是可以再次被使用的。当插入元素时，若通过哈希函数找到了被标记为已删除的索引，则可将该元素放置到该索引。
在线性探测时，我们从当前索引 index 向后遍历；而当越过数组尾部时，需要回到头部继续遍历。