|
|
# 分数背包问题
|
|
|
|
|
|
分数背包是 0-1 背包的一个变种问题。
|
|
|
|
|
|
!!! question
|
|
|
|
|
|
给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，**但可以选择物品的一部分，价值根据选择的重量比例计算**，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。
|
|
|
|
|
|
不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，**这意味着可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值**，因此有：
|
|
|
|
|
|
1. 对于物品 $i$ ，它在单位重量下的价值为 $val[i-1] / wgt[i-1]$ ，简称为单位价值；
|
|
|
2. 假设放入一部分物品 $i$ ，重量为 $w$ ，则背包增加的价值为 $w \times val[i-1] / wgt[i-1]$ ；
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 贪心策略确定
|
|
|
|
|
|
最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略：
|
|
|
|
|
|
1. 将物品按照单位价值从高到低进行排序。
|
|
|
2. 遍历所有物品，**每轮贪心地选择单位价值最高的物品**。
|
|
|
3. 若剩余背包容量不足，则使用当前物品的一部分填满背包即可。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 代码实现
|
|
|
|
|
|
我们建立了一个物品类 `Item` ，以便将物品按照单位价值进行排序。循环进行贪心选择，当背包已满时跳出并返回解。
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="fractional_knapsack.java"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{fractional_knapsack}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="fractional_knapsack.cpp"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="fractional_knapsack.py"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractional_knapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="fractional_knapsack.go"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JavaScript"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="fractional_knapsack.js"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TypeScript"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="fractional_knapsack.ts"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="fractional_knapsack.c"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="fractional_knapsack.cs"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{fractional_knapsack}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="fractional_knapsack.swift"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="fractional_knapsack.zig"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="fractional_knapsack.dart"
|
|
|
[class]{Item}-[func]{}
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{fractionalKnapsack}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。
|
|
|
|
|
|
由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
|
|
|
|
|
|
### 正确性证明
|
|
|
|
|
|
采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 `res` ，但该解中不包含物品 $x$ 。
|
|
|
|
|
|
现在从背包中拿出单位重量的任意物品，并替换为单位重量的物品 $x$ 。由于物品 $x$ 的单位价值最高，因此替换后的总价值一定大于 `res` 。**这与 `res` 是最优解矛盾，说明最优解中必须包含物品 $x$** 。
|
|
|
|
|
|
对于该解中的其他物品，我们也可以构建出上述矛盾。总而言之，**单位价值更大的物品总是更优选择**，这说明贪心策略是有效的。
|
|
|
|
|
|
如下图所示，如果将物品重量和物品单位价值分别看作一个 2D 图表的横轴和纵轴，则分数背包问题可被转化为“求在有限横轴区间下的最大围成面积”。
|
|
|
|
|
|
通过这个类比，我们可以从几何角度理解贪心策略的有效性。
|
|
|
|
|
|
|
