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哈希冲突
理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，往往存在向哈希函数输入不同的 key 而产生相同输出的情况，这种情况被称为「哈希冲突 Hash Collision」。哈希冲突会导致查询结果错误，从而严重影响哈希表的可用性。
那么，为什么会出现哈希冲突呢？本质上看，由于哈希函数的输入空间往往远大于输出空间，因此不可避免地会出现多个输入产生相同输出的情况，即为哈希冲突。比如，输入空间是全体整数，输出空间是一个固定大小的数组，那么必定会有多个整数映射到同一个数组索引。
为了缓解哈希冲突，一方面，我们可以通过哈希表扩容来减小冲突概率。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，每个 key 都对应唯一的数组索引，可谓“大力出奇迹”。
另一方面，考虑通过优化哈希表的表示来缓解哈希冲突，常见的方法有「链式地址 Separate Chaining」和「开放寻址 Open Addressing」。
哈希表扩容
哈希函数的最后一步往往是对桶数量 n 取余，以将哈希值映射到桶的索引范围，从而将 key 放入对应的桶中。当哈希表容量越大（即 n 越大）时，多个 key 被分配到同一个桶中的概率就越低，冲突就越少。
因此，在哈希表内的冲突整体比较严重时，编程语言一般通过扩容哈希表来缓解。与数组扩容类似，哈希表扩容需要将所有键值对从原哈希表移动至新哈希表，开销很大。
编程语言一般使用「负载因子 Load Factor」来评估哈希冲突的严重程度，其定义为哈希表中元素数量除以桶数量，常用作哈希表扩容的触发条件。比如在 Java 中，当负载因子 > 0.75 时，系统会将 HashMap 容量扩充至原先的 2 倍。
链式地址
在原始哈希表中，每个桶只能存储一个键值对。链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将键值对作为链表结点，将所有冲突键值对都存储在一个链表中。
链式地址下，哈希表操作方法为：
- 查询元素：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头结点，再通过遍历链表并对比 key 来查找键值对。
- 添加元素：先通过哈希函数访问链表头结点，再将结点（即键值对）添加到链表即可。
- 删除元素：同样先根据哈希函数结果访问链表头部，再遍历链表查找对应结点，删除之即可。
链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括：
- 占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间；
- 查询效率降低，因为需要线性遍历链表来查找对应元素；
为了提升操作效率，可以把「链表」转化为「AVL 树」或「红黑树」，将查询操作的时间复杂度优化至 O(\log n) 。
开放寻址
「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过“多次探测”来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 线性探测、平方探测、多次哈希。
线性探测
「线性探测」使用固定步长的线性查找来解决哈希冲突。
插入元素：如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（步长一般取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。
查找元素：若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况：
- 找到对应元素，返回 value 即可；
- 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中；
线性探测存在以下缺陷：
- 不能直接删除元素。删除元素会导致数组内出现一个空位，在查找其他元素时，该空位有可能导致程序认为元素不存在（即上述第
2.种情况）。因此需要借助一个标志位来标记删除元素。 - 容易产生聚集。数组内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促进这一位置的“聚堆生长”，最终导致增删查改操作效率的劣化。
多次哈希
顾名思义，「多次哈希」的思路是使用多个哈希函数 f_1(x) , f_2(x) , f_3(x) , \cdots 进行探测。
插入元素：若哈希函数 f_1(x) 出现冲突，则尝试 f_2(x) ，以此类推……直到找到空位后插入元素。
查找元素：以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况：
- 找到目标元素，则返回之；
- 到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素；
相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。
!!! note "工业界方案"
Java 采用「链式地址」。在 JDK 1.8 之后，HashMap 内数组长度大于 64 时，长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
Python 采用「开放寻址」。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
Golang 采用「链式地址」。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对，超出容量则连接一个溢出桶；当溢出桶过多时，会执行一次特殊的等量扩容操作，以保证性能。