hello-algo/chapter_graph/graph_traversal.md

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# 9.3   图的遍历

树代表的是“一对多”的关系，而图则具有更高的自由度，可以表示任意的“多对多”关系。因此，我们可以把树看作是图的一种特例。显然，**树的遍历操作也是图的遍历操作的一种特例**。

图和树都需要应用搜索算法来实现遍历操作。图的遍历方式可分为两种：「广度优先遍历 breadth-first traversal」和「深度优先遍历 depth-first traversal」。它们也常被称为「广度优先搜索 breadth-first search」和「深度优先搜索 depth-first search」，简称 BFS 和 DFS 。

## 9.3.1   广度优先遍历

**广度优先遍历是一种由近及远的遍历方式，从某个节点出发，始终优先访问距离最近的顶点，并一层层向外扩张**。如图 9-9 所示，从左上角顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，然后遍历下一个顶点的所有邻接顶点，以此类推，直至所有顶点访问完毕。

![图的广度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)

<p align="center"> 图 9-9 &nbsp; 图的广度优先遍历 </p>

### 1. &nbsp; 算法实现

BFS 通常借助队列来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS 的“由近及远”的思想异曲同工。

1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环。
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点并记录访问，然后将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部。
3. 循环步骤 `2.` ，直到所有顶点被访问完成后结束。

为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些节点已被访问。

=== "Python"

    ```python title="graph_bfs.py"
    def graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
        """广度优先遍历 BFS"""
        # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
        # 顶点遍历序列
        res = []
        # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        visited = set[Vertex]([start_vet])
        # 队列用于实现 BFS
        que = deque[Vertex]([start_vet])
        # 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while len(que) > 0:
            vet = que.popleft()  # 队首顶点出队
            res.append(vet)  # 记录访问顶点
            # 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for adj_vet in graph.adj_list[vet]:
                if adj_vet in visited:
                    continue  # 跳过已被访问过的顶点
                que.append(adj_vet)  # 只入队未访问的顶点
                visited.add(adj_vet)  # 标记该顶点已被访问
        # 返回顶点遍历序列
        return res
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_bfs.cpp"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    vector<Vertex *> graphBFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
        // 顶点遍历序列
        vector<Vertex *> res;
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        unordered_set<Vertex *> visited = {startVet};
        // 队列用于实现 BFS
        queue<Vertex *> que;
        que.push(startVet);
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (!que.empty()) {
            Vertex *vet = que.front();
            que.pop();          // 队首顶点出队
            res.push_back(vet); // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for (auto adjVet : graph.adjList[vet]) {
                if (visited.count(adjVet))
                    continue;            // 跳过已被访问过的顶点
                que.push(adjVet);        // 只入队未访问的顶点
                visited.emplace(adjVet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="graph_bfs.java"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
        visited.add(startVet);
        // 队列用于实现 BFS
        Queue<Vertex> que = new LinkedList<>();
        que.offer(startVet);
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (!que.isEmpty()) {
            Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
            res.add(vet);            // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
                if (visited.contains(adjVet))
                    continue;        // 跳过已被访问过的顶点
                que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_bfs.cs"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new List<Vertex>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        HashSet<Vertex> visited = new HashSet<Vertex>() { startVet };
        // 队列用于实现 BFS
        Queue<Vertex> que = new Queue<Vertex>();
        que.Enqueue(startVet);
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (que.Count > 0) {
            Vertex vet = que.Dequeue(); // 队首顶点出队
            res.Add(vet);               // 记录访问顶点
            foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
                if (visited.Contains(adjVet)) {
                    continue;          // 跳过已被访问过的顶点
                }
                que.Enqueue(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
                visited.Add(adjVet);   // 标记该顶点已被访问
            }
        }

        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_bfs.go"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    func graphBFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
        // 顶点遍历序列
        res := make([]Vertex, 0)
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        visited := make(map[Vertex]struct{})
        visited[startVet] = struct{}{}
        // 队列用于实现 BFS, 使用切片模拟队列
        queue := make([]Vertex, 0)
        queue = append(queue, startVet)
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        for len(queue) > 0 {
            // 队首顶点出队
            vet := queue[0]
            queue = queue[1:]
            // 记录访问顶点
            res = append(res, vet)
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
                _, isExist := visited[adjVet]
                // 只入队未访问的顶点
                if !isExist {
                    queue = append(queue, adjVet)
                    visited[adjVet] = struct{}{}
                }
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_bfs.swift"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    func graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
        // 顶点遍历序列
        var res: [Vertex] = []
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        var visited: Set<Vertex> = [startVet]
        // 队列用于实现 BFS
        var que: [Vertex] = [startVet]
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while !que.isEmpty {
            let vet = que.removeFirst() // 队首顶点出队
            res.append(vet) // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
                if visited.contains(adjVet) {
                    continue // 跳过已被访问过的顶点
                }
                que.append(adjVet) // 只入队未访问的顶点
                visited.insert(adjVet) // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="graph_bfs.js"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    function graphBFS(graph, startVet) {
        // 顶点遍历序列
        const res = [];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        const visited = new Set();
        visited.add(startVet);
        // 队列用于实现 BFS
        const que = [startVet];
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (que.length) {
            const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
            res.push(vet); // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
                if (visited.has(adjVet)) {
                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
                }
                que.push(adjVet); // 只入队未访问的顶点
                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="graph_bfs.ts"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    function graphBFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
        // 顶点遍历序列
        const res: Vertex[] = [];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        const visited: Set<Vertex> = new Set();
        visited.add(startVet);
        // 队列用于实现 BFS
        const que = [startVet];
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (que.length) {
            const vet = que.shift(); // 队首顶点出队
            res.push(vet); // 记录访问顶点
            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            for (const adjVet of graph.adjList.get(vet) ?? []) {
                if (visited.has(adjVet)) {
                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
                }
                que.push(adjVet); // 只入队未访问
                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="graph_bfs.dart"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
      // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
      // 顶点遍历序列
      List<Vertex> res = [];
      // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
      Set<Vertex> visited = {};
      visited.add(startVet);
      // 队列用于实现 BFS
      Queue<Vertex> que = Queue();
      que.add(startVet);
      // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
      while (que.isNotEmpty) {
        Vertex vet = que.removeFirst(); // 队首顶点出队
        res.add(vet); // 记录访问顶点
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
          if (visited.contains(adjVet)) {
            continue; // 跳过已被访问过的顶点
          }
          que.add(adjVet); // 只入队未访问的顶点
          visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
        }
      }
      // 返回顶点遍历序列
      return res;
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="graph_bfs.rs"
    /* 广度优先遍历 BFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    fn graph_bfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
        // 顶点遍历序列
        let mut res = vec![];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        let mut visited = HashSet::new();
        visited.insert(start_vet);
        // 队列用于实现 BFS
        let mut que = VecDeque::new();
        que.push_back(start_vet);
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while !que.is_empty() {
            let vet = que.pop_front().unwrap(); // 队首顶点出队
            res.push(vet); // 记录访问顶点
                        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
            if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
                for &adj_vet in adj_vets {
                    if visited.contains(&adj_vet) {
                        continue; // 跳过已被访问过的顶点
                    }
                    que.push_back(adj_vet); // 只入队未访问的顶点
                    visited.insert(adj_vet); // 标记该顶点已被访问
                }
            }
        }
        // 返回顶点遍历序列
        res
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="graph_bfs.c"
    /* 广度优先遍历 */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    Vertex **graphBFS(graphAdjList *t, Vertex *startVet) {
        // 顶点遍历序列
        Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * t->size);
        memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * t->size);
        // 队列用于实现 BFS
        queue *que = newQueue(t->size);
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        hashTable *visited = newHash(t->size);
        int resIndex = 0;
        queuePush(que, startVet);         // 将第一个元素入队
        hashMark(visited, startVet->pos); // 标记第一个入队的顶点
        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
        while (que->head < que->tail) {
            // 遍历该顶点的边链表，将所有与该顶点有连接的，并且未被标记的顶点入队
            Node *n = queueTop(que)->linked->head->next;
            while (n != 0) {
                // 查询哈希表，若该索引的顶点已入队，则跳过，否则入队并标记
                if (hashQuery(visited, n->val->pos) == 1) {
                    n = n->next;
                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
                }
                queuePush(que, n->val);         // 只入队未访问的顶点
                hashMark(visited, n->val->pos); // 标记该顶点已被访问
            }
            // 队首元素存入数组
            res[resIndex] = queueTop(que); // 队首顶点加入顶点遍历序列
            resIndex++;
            queuePop(que); // 队首元素出队
        }
        // 释放内存
        freeQueue(que);
        freeHash(visited);
        resIndex = 0;
        // 返回顶点遍历序列
        return res;
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_bfs.zig"
    [class]{}-[func]{graphBFS}
    ```

代码相对抽象，建议对照图 9-10 来加深理解。

=== "<1>"
    ![图的广度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)

=== "<2>"
    ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)

=== "<3>"
    ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)

=== "<4>"
    ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)

=== "<5>"
    ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)

=== "<6>"
    ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)

=== "<7>"
    ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)

=== "<8>"
    ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)

=== "<9>"
    ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)

=== "<10>"
    ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)

=== "<11>"
    ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)

<p align="center"> 图 9-10 &nbsp; 图的广度优先遍历步骤 </p>

!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"

    不唯一。广度优先遍历只要求按“由近及远”的顺序遍历，**而多个相同距离的顶点的遍历顺序是允许被任意打乱的**。以图 9-10 为例，顶点 $1$、$3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$、$4$、$6$ 的访问顺序也可以任意交换。

### 2. &nbsp; 复杂度分析

**时间复杂度：** 所有顶点都会入队并出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。

## 9.3.2 &nbsp; 深度优先遍历

**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。如图 9-11 所示，从左上角顶点出发，访问当前顶点的某个邻接顶点，直到走到尽头时返回，再继续走到尽头并返回，以此类推，直至所有顶点遍历完成。

![图的深度优先遍历](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)

<p align="center"> 图 9-11 &nbsp; 图的深度优先遍历 </p>

### 1. &nbsp; 算法实现

这种“走到尽头再返回”的算法范式通常基于递归来实现。与广度优先遍历类似，在深度优先遍历中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。

=== "Python"

    ```python title="graph_dfs.py"
    def dfs(graph: GraphAdjList, visited: set[Vertex], res: list[Vertex], vet: Vertex):
        """深度优先遍历 DFS 辅助函数"""
        res.append(vet)  # 记录访问顶点
        visited.add(vet)  # 标记该顶点已被访问
        # 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adj_list[vet]:
            if adjVet in visited:
                continue  # 跳过已被访问过的顶点
            # 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet)

    def graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> list[Vertex]:
        """深度优先遍历 DFS"""
        # 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
        # 顶点遍历序列
        res = []
        # 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        visited = set[Vertex]()
        dfs(graph, visited, res, start_vet)
        return res
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="graph_dfs.cpp"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    void dfs(GraphAdjList &graph, unordered_set<Vertex *> &visited, vector<Vertex *> &res, Vertex *vet) {
        res.push_back(vet);   // 记录访问顶点
        visited.emplace(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex *adjVet : graph.adjList[vet]) {
            if (visited.count(adjVet))
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    vector<Vertex *> graphDFS(GraphAdjList &graph, Vertex *startVet) {
        // 顶点遍历序列
        vector<Vertex *> res;
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        unordered_set<Vertex *> visited;
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="graph_dfs.java"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
        res.add(vet);     // 记录访问顶点
        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.contains(adjVet))
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="graph_dfs.cs"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    void dfs(GraphAdjList graph, HashSet<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
        res.Add(vet);     // 记录访问顶点
        visited.Add(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        foreach (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]) {
            if (visited.Contains(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点                             
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
        // 顶点遍历序列
        List<Vertex> res = new List<Vertex>();
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        HashSet<Vertex> visited = new HashSet<Vertex>();
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="graph_dfs.go"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    func dfs(g *graphAdjList, visited map[Vertex]struct{}, res *[]Vertex, vet Vertex) {
        // append 操作会返回新的的引用，必须让原引用重新赋值为新slice的引用
        *res = append(*res, vet)
        visited[vet] = struct{}{}
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for _, adjVet := range g.adjList[vet] {
            _, isExist := visited[adjVet]
            // 递归访问邻接顶点
            if !isExist {
                dfs(g, visited, res, adjVet)
            }
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    func graphDFS(g *graphAdjList, startVet Vertex) []Vertex {
        // 顶点遍历序列
        res := make([]Vertex, 0)
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        visited := make(map[Vertex]struct{})
        dfs(g, visited, &res, startVet)
        // 返回顶点遍历序列
        return res
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="graph_dfs.swift"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    func dfs(graph: GraphAdjList, visited: inout Set<Vertex>, res: inout [Vertex], vet: Vertex) {
        res.append(vet) // 记录访问顶点
        visited.insert(vet) // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for adjVet in graph.adjList[vet] ?? [] {
            if visited.contains(adjVet) {
                continue // 跳过已被访问过的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: adjVet)
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    func graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex) -> [Vertex] {
        // 顶点遍历序列
        var res: [Vertex] = []
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        var visited: Set<Vertex> = []
        dfs(graph: graph, visited: &visited, res: &res, vet: startVet)
        return res
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="graph_dfs.js"
    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    function dfs(graph, visited, res, vet) {
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    function graphDFS(graph, startVet) {
        // 顶点遍历序列
        const res = [];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        const visited = new Set();
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="graph_dfs.ts"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    function dfs(
        graph: GraphAdjList,
        visited: Set<Vertex>,
        res: Vertex[],
        vet: Vertex
    ): void {
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        for (const adjVet of graph.adjList.get(vet)) {
            if (visited.has(adjVet)) {
                continue; // 跳过已被访问过的顶点
            }
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, res, adjVet);
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    function graphDFS(graph: GraphAdjList, startVet: Vertex): Vertex[] {
        // 顶点遍历序列
        const res: Vertex[] = [];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        const visited: Set<Vertex> = new Set();
        dfs(graph, visited, res, startVet);
        return res;
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="graph_dfs.dart"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    void dfs(
      GraphAdjList graph,
      Set<Vertex> visited,
      List<Vertex> res,
      Vertex vet,
    ) {
      res.add(vet); // 记录访问顶点
      visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
      // 遍历该顶点的所有邻接顶点
      for (Vertex adjVet in graph.adjList[vet]!) {
        if (visited.contains(adjVet)) {
          continue; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        // 递归访问邻接顶点
        dfs(graph, visited, res, adjVet);
      }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
      // 顶点遍历序列
      List<Vertex> res = [];
      // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
      Set<Vertex> visited = {};
      dfs(graph, visited, res, startVet);
      return res;
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="graph_dfs.rs"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    fn dfs(graph: &GraphAdjList, visited: &mut HashSet<Vertex>, res: &mut Vec<Vertex>, vet: Vertex) {
        res.push(vet); // 记录访问顶点
        visited.insert(vet); // 标记该顶点已被访问
                             // 遍历该顶点的所有邻接顶点
        if let Some(adj_vets) = graph.adj_list.get(&vet) {
            for &adj_vet in adj_vets {
                if visited.contains(&adj_vet) {
                    continue; // 跳过已被访问过的顶点
                }
                // 递归访问邻接顶点
                dfs(graph, visited, res, adj_vet);
            }
        }
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    fn graph_dfs(graph: GraphAdjList, start_vet: Vertex) -> Vec<Vertex> {
        // 顶点遍历序列
        let mut res = vec![];
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        let mut visited = HashSet::new();
        dfs(&graph, &mut visited, &mut res, start_vet);

        res
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="graph_dfs.c"
    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
    int resIndex = 0;
    void dfs(graphAdjList *graph, hashTable *visited, Vertex *vet, Vertex **res) {
        if (hashQuery(visited, vet->pos) == 1) {
            return; // 跳过已被访问过的顶点
        }
        hashMark(visited, vet->pos); // 标记顶点并将顶点存入数组
        res[resIndex] = vet;         // 将顶点存入数组
        resIndex++;
        // 遍历该顶点链表
        Node *n = vet->linked->head->next;
        while (n != 0) {
            // 递归访问邻接顶点
            dfs(graph, visited, n->val, res);
            n = n->next;
        }
        return;
    }

    /* 深度优先遍历 DFS */
    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
    Vertex **graphDFS(graphAdjList *graph, Vertex *startVet) {
        // 顶点遍历序列
        Vertex **res = (Vertex **)malloc(sizeof(Vertex *) * graph->size);
        memset(res, 0, sizeof(Vertex *) * graph->size);
        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
        hashTable *visited = newHash(graph->size);
        dfs(graph, visited, startVet, res);
        // 释放哈希表内存并将数组索引归零
        freeHash(visited);
        resIndex = 0;
        // 返回遍历数组
        return res;
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="graph_dfs.zig"
    [class]{}-[func]{dfs}

    [class]{}-[func]{graphDFS}
    ```

深度优先遍历的算法流程如图 9-12 所示。

- **直虚线代表向下递推**，表示开启了一个新的递归方法来访问新顶点。
- **曲虚线代表向上回溯**，表示此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置。

为了加深理解，建议将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。

=== "<1>"
    ![图的深度优先遍历步骤](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)

=== "<2>"
    ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)

=== "<3>"
    ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)

=== "<4>"
    ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)

=== "<5>"
    ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)

=== "<6>"
    ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)

=== "<7>"
    ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)

=== "<8>"
    ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)

=== "<9>"
    ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)

=== "<10>"
    ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)

=== "<11>"
    ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)

<p align="center"> 图 9-12 &nbsp; 图的深度优先遍历步骤 </p>

!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"

    与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都可以，即邻接顶点的顺序可以任意打乱，都是深度优先遍历。
    
    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，它们展示了三种不同的遍历优先级，然而这三者都属于深度优先遍历。

### 2. &nbsp; 复杂度分析

**时间复杂度：** 所有顶点都会被访问 $1$ 次，使用 $O(|V|)$ 时间；所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。

**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。