|
|
---
|
|
|
comments: true
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
# 14.2 动态规划问题特性
|
|
|
|
|
|
在上一节中，我们学习了动态规划是如何通过子问题分解来求解原问题的。实际上，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治、动态规划、回溯中的侧重点不同。
|
|
|
|
|
|
- 分治算法递归地将原问题划分为多个相互独立的子问题，直至最小子问题，并在回溯中合并子问题的解，最终得到原问题的解。
|
|
|
- 动态规划也对问题进行递归分解，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题是相互依赖的，在分解过程中会出现许多重叠子问题。
|
|
|
- 回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之前的子序列看作一个子问题。
|
|
|
|
|
|
实际上，动态规划常用来求解最优化问题，它们不仅包含重叠子问题，还具有另外两大特性：最优子结构、无后效性。
|
|
|
|
|
|
## 14.2.1 最优子结构
|
|
|
|
|
|
我们对爬楼梯问题稍作改动，使之更加适合展示最优子结构概念。
|
|
|
|
|
|
!!! question "爬楼梯最小代价"
|
|
|
|
|
|
给定一个楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，每一阶楼梯上都贴有一个非负整数，表示你在该台阶所需要付出的代价。给定一个非负整数数组 $cost$ ，其中 $cost[i]$ 表示在第 $i$ 个台阶需要付出的代价，$cost[0]$ 为地面（起始点）。请计算最少需要付出多少代价才能到达顶部？
|
|
|
|
|
|
如图 14-6 所示，若第 $1$、$2$、$3$ 阶的代价分别为 $1$、$10$、$1$ ，则从地面爬到第 $3$ 阶的最小代价为 $2$ 。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 14-6 爬到第 3 阶的最小代价 </p>
|
|
|
|
|
|
设 $dp[i]$ 为爬到第 $i$ 阶累计付出的代价，由于第 $i$ 阶只可能从 $i - 1$ 阶或 $i - 2$ 阶走来，因此 $dp[i]$ 只可能等于 $dp[i - 1] + cost[i]$ 或 $dp[i - 2] + cost[i]$ 。为了尽可能减少代价，我们应该选择两者中较小的那一个：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
dp[i] = \min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
这便可以引出最优子结构的含义：**原问题的最优解是从子问题的最优解构建得来的**。
|
|
|
|
|
|
本题显然具有最优子结构：我们从两个子问题最优解 $dp[i-1]$ 和 $dp[i-2]$ 中挑选出较优的那一个，并用它构建出原问题 $dp[i]$ 的最优解。
|
|
|
|
|
|
那么，上一节的爬楼梯题目有没有最优子结构呢？它的目标是求解方案数量，看似是一个计数问题，但如果换一种问法：“求解最大方案数量”。我们意外地发现，**虽然题目修改前后是等价的，但最优子结构浮现出来了**：第 $n$ 阶最大方案数量等于第 $n-1$ 阶和第 $n-2$ 阶最大方案数量之和。所以说，最优子结构的解释方式比较灵活，在不同问题中会有不同的含义。
|
|
|
|
|
|
根据状态转移方程，以及初始状态 $dp[1] = cost[1]$ 和 $dp[2] = cost[2]$ ，我们就可以得到动态规划代码：
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
|
|
|
def min_cost_climbing_stairs_dp(cost: list[int]) -> int:
|
|
|
"""爬楼梯最小代价：动态规划"""
|
|
|
n = len(cost) - 1
|
|
|
if n == 1 or n == 2:
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
# 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
dp = [0] * (n + 1)
|
|
|
# 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1], dp[2] = cost[1], cost[2]
|
|
|
# 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in range(3, n + 1):
|
|
|
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
|
|
|
return dp[n]
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDP(vector<int> &cost) {
|
|
|
int n = cost.size() - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
vector<int> dp(n + 1);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
|
|
|
int n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int[] dp = new int[n + 1];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
int MinCostClimbingStairsDP(int[] cost) {
|
|
|
int n = cost.Length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int[] dp = new int[n + 1];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = Math.Min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
func minCostClimbingStairsDP(cost []int) int {
|
|
|
n := len(cost) - 1
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
}
|
|
|
min := func(a, b int) int {
|
|
|
if a < b {
|
|
|
return a
|
|
|
}
|
|
|
return b
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
dp := make([]int, n+1)
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1]
|
|
|
dp[2] = cost[2]
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i := 3; i <= n; i++ {
|
|
|
dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
func minCostClimbingStairsDP(cost: [Int]) -> Int {
|
|
|
let n = cost.count - 1
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
var dp = Array(repeating: 0, count: n + 1)
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1]
|
|
|
dp[2] = cost[2]
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in stride(from: 3, through: n, by: 1) {
|
|
|
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
function minCostClimbingStairsDP(cost) {
|
|
|
const n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
const dp = new Array(n + 1);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
function minCostClimbingStairsDP(cost: Array<number>): number {
|
|
|
const n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
const dp = new Array(n + 1);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = Math.min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDP(List<int> cost) {
|
|
|
int n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
List<int> dp = List.filled(n + 1, 0);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
fn min_cost_climbing_stairs_dp(cost: &[i32]) -> i32 {
|
|
|
let n = cost.len() - 1;
|
|
|
if n == 1 || n == 2 { return cost[n]; }
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
let mut dp = vec![-1; n + 1];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in 3..=n {
|
|
|
dp[i] = cmp::min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
dp[n]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDP(int cost[], int costSize) {
|
|
|
int n = costSize - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int *dp = calloc(n + 1, sizeof(int));
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = myMin(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
int res = dp[n];
|
|
|
// 释放内存
|
|
|
free(dp);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
|
|
|
// 爬楼梯最小代价：动态规划
|
|
|
fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 {
|
|
|
comptime var n = cost.len - 1;
|
|
|
if (n == 1 or n == 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1] = cost[1];
|
|
|
dp[2] = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (3..n + 1) |i| {
|
|
|
dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
图 14-7 展示了以上代码的动态规划过程。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 14-7 爬楼梯最小代价的动态规划过程 </p>
|
|
|
|
|
|
本题也可以进行空间优化，将一维压缩至零维，使得空间复杂度从 $O(n)$ 降至 $O(1)$ ：
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="min_cost_climbing_stairs_dp.py"
|
|
|
def min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: list[int]) -> int:
|
|
|
"""爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划"""
|
|
|
n = len(cost) - 1
|
|
|
if n == 1 or n == 2:
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
a, b = cost[1], cost[2]
|
|
|
for i in range(3, n + 1):
|
|
|
a, b = b, min(a, b) + cost[i]
|
|
|
return b
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cpp"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDPComp(vector<int> &cost) {
|
|
|
int n = cost.size() - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
int a = cost[1], b = cost[2];
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
int tmp = b;
|
|
|
b = min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="min_cost_climbing_stairs_dp.java"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
|
|
|
int n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
int a = cost[1], b = cost[2];
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
int tmp = b;
|
|
|
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="min_cost_climbing_stairs_dp.cs"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
int MinCostClimbingStairsDPComp(int[] cost) {
|
|
|
int n = cost.Length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
int a = cost[1], b = cost[2];
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
int tmp = b;
|
|
|
b = Math.Min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="min_cost_climbing_stairs_dp.go"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
func minCostClimbingStairsDPComp(cost []int) int {
|
|
|
n := len(cost) - 1
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
}
|
|
|
min := func(a, b int) int {
|
|
|
if a < b {
|
|
|
return a
|
|
|
}
|
|
|
return b
|
|
|
}
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
a, b := cost[1], cost[2]
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i := 3; i <= n; i++ {
|
|
|
tmp := b
|
|
|
b = min(a, tmp) + cost[i]
|
|
|
a = tmp
|
|
|
}
|
|
|
return b
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="min_cost_climbing_stairs_dp.swift"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
func minCostClimbingStairsDPComp(cost: [Int]) -> Int {
|
|
|
let n = cost.count - 1
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return cost[n]
|
|
|
}
|
|
|
var (a, b) = (cost[1], cost[2])
|
|
|
for i in stride(from: 3, through: n, by: 1) {
|
|
|
(a, b) = (b, min(a, b) + cost[i])
|
|
|
}
|
|
|
return b
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="min_cost_climbing_stairs_dp.js"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
|
|
|
function minCostClimbingStairsDPComp(cost) {
|
|
|
const n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
let a = cost[1],
|
|
|
b = cost[2];
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
const tmp = b;
|
|
|
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="min_cost_climbing_stairs_dp.ts"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 */
|
|
|
function minCostClimbingStairsDPComp(cost: Array<number>): number {
|
|
|
const n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
let a = cost[1],
|
|
|
b = cost[2];
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
const tmp = b;
|
|
|
b = Math.min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="min_cost_climbing_stairs_dp.dart"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDPComp(List<int> cost) {
|
|
|
int n = cost.length - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) return cost[n];
|
|
|
int a = cost[1], b = cost[2];
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
int tmp = b;
|
|
|
b = min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="min_cost_climbing_stairs_dp.rs"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
fn min_cost_climbing_stairs_dp_comp(cost: &[i32]) -> i32 {
|
|
|
let n = cost.len() - 1;
|
|
|
if n == 1 || n == 2 { return cost[n] };
|
|
|
let (mut a, mut b) = (cost[1], cost[2]);
|
|
|
for i in 3..=n {
|
|
|
let tmp = b;
|
|
|
b = cmp::min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
b
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="min_cost_climbing_stairs_dp.c"
|
|
|
/* 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划 */
|
|
|
int minCostClimbingStairsDPComp(int cost[], int costSize) {
|
|
|
int n = costSize - 1;
|
|
|
if (n == 1 || n == 2)
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
int a = cost[1], b = cost[2];
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
int tmp = b;
|
|
|
b = myMin(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig"
|
|
|
// 爬楼梯最小代价：空间优化后的动态规划
|
|
|
fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 {
|
|
|
var n = cost.len - 1;
|
|
|
if (n == 1 or n == 2) {
|
|
|
return cost[n];
|
|
|
}
|
|
|
var a = cost[1];
|
|
|
var b = cost[2];
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (3..n + 1) |i| {
|
|
|
var tmp = b;
|
|
|
b = @min(a, tmp) + cost[i];
|
|
|
a = tmp;
|
|
|
}
|
|
|
return b;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
## 14.2.2 无后效性
|
|
|
|
|
|
无后效性是动态规划能够有效解决问题的重要特性之一，其定义为：**给定一个确定的状态，它的未来发展只与当前状态有关，而与过去经历的所有状态无关**。
|
|
|
|
|
|
以爬楼梯问题为例，给定状态 $i$ ，它会发展出状态 $i+1$ 和状态 $i+2$ ，分别对应跳 $1$ 步和跳 $2$ 步。在做出这两种选择时，我们无须考虑状态 $i$ 之前的状态，它们对状态 $i$ 的未来没有影响。
|
|
|
|
|
|
然而，如果我们给爬楼梯问题添加一个约束，情况就不一样了。
|
|
|
|
|
|
!!! question "带约束爬楼梯"
|
|
|
|
|
|
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，**但不能连续两轮跳 $1$ 阶**，请问有多少种方案可以爬到楼顶？
|
|
|
|
|
|
如图 14-8 所示，爬上第 $3$ 阶仅剩 $2$ 种可行方案，其中连续三次跳 $1$ 阶的方案不满足约束条件，因此被舍弃。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 14-8 带约束爬到第 3 阶的方案数量 </p>
|
|
|
|
|
|
在该问题中，如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的，那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。这意味着，**下一步选择不能由当前状态（当前所在楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上一轮所在楼梯阶数）有关**。
|
|
|
|
|
|
不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮是跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们就不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。
|
|
|
|
|
|
为此，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此判断当前状态是从何而来的。
|
|
|
|
|
|
- 当上一轮跳了 $1$ 阶时，上上一轮只能选择跳 $2$ 阶，即 $dp[i, 1]$ 只能从 $dp[i-1, 2]$ 转移过来。
|
|
|
- 当上一轮跳了 $2$ 阶时，上上一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶，即 $dp[i, 2]$ 可以从 $dp[i-2, 1]$ 或 $dp[i-2, 2]$ 转移过来。
|
|
|
|
|
|
如图 14-9 所示，在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。此时状态转移方程为：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
\begin{cases}
|
|
|
dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\
|
|
|
dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2]
|
|
|
\end{cases}
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 图 14-9 考虑约束下的递推关系 </p>
|
|
|
|
|
|
最终，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数：
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="climbing_stairs_constraint_dp.py"
|
|
|
def climbing_stairs_constraint_dp(n: int) -> int:
|
|
|
"""带约束爬楼梯：动态规划"""
|
|
|
if n == 1 or n == 2:
|
|
|
return 1
|
|
|
# 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
|
|
|
# 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1], dp[1][2] = 1, 0
|
|
|
dp[2][1], dp[2][2] = 0, 1
|
|
|
# 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in range(3, n + 1):
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2]
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="climbing_stairs_constraint_dp.cpp"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3, 0));
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="climbing_stairs_constraint_dp.java"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int[][] dp = new int[n + 1][3];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="climbing_stairs_constraint_dp.cs"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
int ClimbingStairsConstraintDP(int n) {
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int[,] dp = new int[n + 1, 3];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1, 1] = 1;
|
|
|
dp[1, 2] = 0;
|
|
|
dp[2, 1] = 0;
|
|
|
dp[2, 2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i, 1] = dp[i - 1, 2];
|
|
|
dp[i, 2] = dp[i - 2, 1] + dp[i - 2, 2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n, 1] + dp[n, 2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="climbing_stairs_constraint_dp.go"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
func climbingStairsConstraintDP(n int) int {
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return 1
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
dp := make([][3]int, n+1)
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1
|
|
|
dp[1][2] = 0
|
|
|
dp[2][1] = 0
|
|
|
dp[2][2] = 1
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i := 3; i <= n; i++ {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i-1][2]
|
|
|
dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2]
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="climbing_stairs_constraint_dp.swift"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
func climbingStairsConstraintDP(n: Int) -> Int {
|
|
|
if n == 1 || n == 2 {
|
|
|
return 1
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: 3), count: n + 1)
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1
|
|
|
dp[1][2] = 0
|
|
|
dp[2][1] = 0
|
|
|
dp[2][2] = 1
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in stride(from: 3, through: n, by: 1) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2]
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="climbing_stairs_constraint_dp.js"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
function climbingStairsConstraintDP(n) {
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
const dp = Array.from(new Array(n + 1), () => new Array(3));
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="climbing_stairs_constraint_dp.ts"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
function climbingStairsConstraintDP(n: number): number {
|
|
|
if (n === 1 || n === 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => new Array(3));
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (let i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="climbing_stairs_constraint_dp.dart"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(3, 0));
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="climbing_stairs_constraint_dp.rs"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
fn climbing_stairs_constraint_dp(n: usize) -> i32 {
|
|
|
if n == 1 || n == 2 { return 1 };
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
let mut dp = vec![vec![-1; 3]; n + 1];
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for i in 3..=n {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
dp[n][1] + dp[n][2]
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="climbing_stairs_constraint_dp.c"
|
|
|
/* 带约束爬楼梯：动态规划 */
|
|
|
int climbingStairsConstraintDP(int n) {
|
|
|
if (n == 1 || n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
|
|
|
for (int i = 0; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i] = calloc(3, sizeof(int));
|
|
|
}
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (int i = 3; i <= n; i++) {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
int res = dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
// 释放内存
|
|
|
for (int i = 0; i <= n; i++) {
|
|
|
free(dp[i]);
|
|
|
}
|
|
|
free(dp);
|
|
|
return res;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig"
|
|
|
// 带约束爬楼梯：动态规划
|
|
|
fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 {
|
|
|
if (n == 1 or n == 2) {
|
|
|
return 1;
|
|
|
}
|
|
|
// 初始化 dp 表，用于存储子问题的解
|
|
|
var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1);
|
|
|
// 初始状态：预设最小子问题的解
|
|
|
dp[1][1] = 1;
|
|
|
dp[1][2] = 0;
|
|
|
dp[2][1] = 0;
|
|
|
dp[2][2] = 1;
|
|
|
// 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题
|
|
|
for (3..n + 1) |i| {
|
|
|
dp[i][1] = dp[i - 1][2];
|
|
|
dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2];
|
|
|
}
|
|
|
return dp[n][1] + dp[n][2];
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
在上面的案例中，由于仅需多考虑前面一个状态，因此我们仍然可以通过扩展状态定义，使得问题重新满足无后效性。然而，某些问题具有非常严重的“有后效性”。
|
|
|
|
|
|
!!! question "爬楼梯与障碍生成"
|
|
|
|
|
|
给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶。**规定当爬到第 $i$ 阶时，系统自动会在第 $2i$ 阶上放上障碍物，之后所有轮都不允许跳到第 $2i$ 阶上**。例如，前两轮分别跳到了第 $2$、$3$ 阶上，则之后就不能跳到第 $4$、$6$ 阶上。请问有多少种方案可以爬到楼顶？
|
|
|
|
|
|
在这个问题中，下次跳跃依赖过去所有的状态，因为每一次跳跃都会在更高的阶梯上设置障碍，并影响未来的跳跃。对于这类问题，动态规划往往难以解决。
|
|
|
|
|
|
实际上，许多复杂的组合优化问题（例如旅行商问题）不满足无后效性。对于这类问题，我们通常会选择使用其他方法，例如启发式搜索、遗传算法、强化学习等，从而在有限时间内得到可用的局部最优解。
|
