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7.2 二叉树遍历

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

7.2.1 层序遍历

如图 7-9 所示，「层序遍历 level-order traversal」从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于「广度优先遍历 breadth-first traversal」，也称「广度优先搜索 breadth-first search, BFS」，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

{ class="animation-figure" }

图 7-9 二叉树的层序遍历

1. 代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：

=== "Python"

```python title="binary_tree_bfs.py"
def level_order(root: TreeNode | None) -> list[int]:
    """层序遍历"""
    # 初始化队列，加入根节点
    queue: deque[TreeNode] = deque()
    queue.append(root)
    # 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    res = []
    while queue:
        node: TreeNode = queue.popleft()  # 队列出队
        res.append(node.val)  # 保存节点值
        if node.left is not None:
            queue.append(node.left)  # 左子节点入队
        if node.right is not None:
            queue.append(node.right)  # 右子节点入队
    return res
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
/* 层序遍历 */
vector<int> levelOrder(TreeNode *root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    queue<TreeNode *> queue;
    queue.push(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    vector<int> vec;
    while (!queue.empty()) {
        TreeNode *node = queue.front();
        queue.pop();              // 队列出队
        vec.push_back(node->val); // 保存节点值
        if (node->left != nullptr)
            queue.push(node->left); // 左子节点入队
        if (node->right != nullptr)
            queue.push(node->right); // 右子节点入队
    }
    return vec;
}
```

=== "Java"

```java title="binary_tree_bfs.java"
/* 层序遍历 */
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
    queue.add(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<Integer> list = new ArrayList<>();
    while (!queue.isEmpty()) {
        TreeNode node = queue.poll(); // 队列出队
        list.add(node.val);           // 保存节点值
        if (node.left != null)
            queue.offer(node.left);   // 左子节点入队
        if (node.right != null)
            queue.offer(node.right);  // 右子节点入队
    }
    return list;
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
/* 层序遍历 */
List<int> LevelOrder(TreeNode root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    Queue<TreeNode> queue = new();
    queue.Enqueue(root);
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    List<int> list = [];
    while (queue.Count != 0) {
        TreeNode node = queue.Dequeue(); // 队列出队
        list.Add(node.val!.Value);       // 保存节点值
        if (node.left != null)
            queue.Enqueue(node.left);    // 左子节点入队
        if (node.right != null)
            queue.Enqueue(node.right);   // 右子节点入队
    }
    return list;
}
```

=== "Go"

```go title="binary_tree_bfs.go"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root *TreeNode) []any {
    // 初始化队列，加入根节点
    queue := list.New()
    queue.PushBack(root)
    // 初始化一个切片，用于保存遍历序列
    nums := make([]any, 0)
    for queue.Len() > 0 {
        // 队列出队
        node := queue.Remove(queue.Front()).(*TreeNode)
        // 保存节点值
        nums = append(nums, node.Val)
        if node.Left != nil {
            // 左子节点入队
            queue.PushBack(node.Left)
        }
        if node.Right != nil {
            // 右子节点入队
            queue.PushBack(node.Right)
        }
    }
    return nums
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree_bfs.swift"
/* 层序遍历 */
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
    // 初始化队列，加入根节点
    var queue: [TreeNode] = [root]
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list: [Int] = []
    while !queue.isEmpty {
        let node = queue.removeFirst() // 队列出队
        list.append(node.val) // 保存节点值
        if let left = node.left {
            queue.append(left) // 左子节点入队
        }
        if let right = node.right {
            queue.append(right) // 右子节点入队
        }
    }
    return list
}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_tree_bfs.js"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root) {
    // 初始化队列，加入根节点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift(); // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存节点值
        if (node.left) queue.push(node.left); // 左子节点入队
        if (node.right) queue.push(node.right); // 右子节点入队
    }
    return list;
}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
/* 层序遍历 */
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
    // 初始化队列，加入根节点
    const queue = [root];
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    const list: number[] = [];
    while (queue.length) {
        let node = queue.shift() as TreeNode; // 队列出队
        list.push(node.val); // 保存节点值
        if (node.left) {
            queue.push(node.left); // 左子节点入队
        }
        if (node.right) {
            queue.push(node.right); // 右子节点入队
        }
    }
    return list;
}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_tree_bfs.dart"
/* 层序遍历 */
List<int> levelOrder(TreeNode? root) {
  // 初始化队列，加入根节点
  Queue<TreeNode?> queue = Queue();
  queue.add(root);
  // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
  List<int> res = [];
  while (queue.isNotEmpty) {
    TreeNode? node = queue.removeFirst(); // 队列出队
    res.add(node!.val); // 保存节点值
    if (node.left != null) queue.add(node.left); // 左子节点入队
    if (node.right != null) queue.add(node.right); // 右子节点入队
  }
  return res;
}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_tree_bfs.rs"
/* 层序遍历 */
fn level_order(root: &Rc<RefCell<TreeNode>>) -> Vec<i32> {
    // 初始化队列，加入根节点
    let mut que = VecDeque::new();
    que.push_back(Rc::clone(&root));
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    let mut vec = Vec::new();

    while let Some(node) = que.pop_front() {                 // 队列出队
        vec.push(node.borrow().val);                         // 保存节点值
        if let Some(left) = node.borrow().left.as_ref() {
            que.push_back(Rc::clone(left));                  // 左子节点入队
        }
        if let Some(right) = node.borrow().right.as_ref() {
            que.push_back(Rc::clone(right));                 // 右子节点入队
        };
    }
    vec
}
```

=== "C"

```c title="binary_tree_bfs.c"
/* 层序遍历 */
int *levelOrder(TreeNode *root, int *size) {
    /* 辅助队列 */
    int front, rear;
    int index, *arr;
    TreeNode *node;
    TreeNode **queue;

    /* 辅助队列 */
    queue = (TreeNode **)malloc(sizeof(TreeNode *) * MAX_SIZE);
    // 队列指针
    front = 0, rear = 0;
    // 加入根节点
    queue[rear++] = root;
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    /* 辅助数组 */
    arr = (int *)malloc(sizeof(int) * MAX_SIZE);
    // 数组指针
    index = 0;
    while (front < rear) {
        // 队列出队
        node = queue[front++];
        // 保存节点值
        arr[index++] = node->val;
        if (node->left != NULL) {
            // 左子节点入队
            queue[rear++] = node->left;
        }
        if (node->right != NULL) {
            // 右子节点入队
            queue[rear++] = node->right;
        }
    }
    // 更新数组长度的值
    *size = index;
    arr = realloc(arr, sizeof(int) * (*size));

    // 释放辅助数组空间
    free(queue);
    return arr;
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_tree_bfs.zig"
// 层序遍历
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
    // 初始化队列，加入根节点
    const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
    var queue = L{};
    var root_node = try mem_allocator.create(L.Node);
    root_node.data = root;
    queue.append(root_node); 
    // 初始化一个列表，用于保存遍历序列
    var list = std.ArrayList(T).init(std.heap.page_allocator);
    while (queue.len > 0) {
        var queue_node = queue.popFirst().?;    // 队列出队
        var node = queue_node.data;
        try list.append(node.val);              // 保存节点值
        if (node.left != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.left.?;
            queue.append(tmp_node);             // 左子节点入队
        }
        if (node.right != null) {
            var tmp_node = try mem_allocator.create(L.Node);
            tmp_node.data = node.right.?;
            queue.append(tmp_node);             // 右子节点入队
        }        
    }
    return list;
}
```

2. 复杂度分析

时间复杂度为 O(n) ：所有节点被访问一次，使用 O(n) 时间，其中 n 为节点数量。
空间复杂度为 O(n) ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 (n + 1) / 2 个节点，占用 O(n) 空间。

7.2.2 前序、中序、后序遍历

相应地，前序、中序和后序遍历都属于「深度优先遍历 depth-first traversal」，也称「深度优先搜索 depth-first search, DFS」，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

图 7-10 展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

{ class="animation-figure" }

图 7-10 二叉搜索树的前序、中序、后序遍历

1. 代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现：

=== "Python"

```python title="binary_tree_dfs.py"
def pre_order(root: TreeNode | None):
    """前序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    res.append(root.val)
    pre_order(root=root.left)
    pre_order(root=root.right)

def in_order(root: TreeNode | None):
    """中序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    in_order(root=root.left)
    res.append(root.val)
    in_order(root=root.right)

def post_order(root: TreeNode | None):
    """后序遍历"""
    if root is None:
        return
    # 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    post_order(root=root.left)
    post_order(root=root.right)
    res.append(root.val)
```

=== "C++"

```cpp title="binary_tree_dfs.cpp"
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    vec.push_back(root->val);
    preOrder(root->left);
    preOrder(root->right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root->left);
    vec.push_back(root->val);
    inOrder(root->right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode *root) {
    if (root == nullptr)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root->left);
    postOrder(root->right);
    vec.push_back(root->val);
}
```

=== "Java"

```java title="binary_tree_dfs.java"
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.add(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.add(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode root) {
    if (root == null)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.add(root.val);
}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_tree_dfs.cs"
/* 前序遍历 */
void PreOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.Add(root.val!.Value);
    PreOrder(root.left);
    PreOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
void InOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    InOrder(root.left);
    list.Add(root.val!.Value);
    InOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
void PostOrder(TreeNode? root) {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    PostOrder(root.left);
    PostOrder(root.right);
    list.Add(root.val!.Value);
}
```

=== "Go"

```go title="binary_tree_dfs.go"
/* 前序遍历 */
func preOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    nums = append(nums, node.Val)
    preOrder(node.Left)
    preOrder(node.Right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(node.Left)
    nums = append(nums, node.Val)
    inOrder(node.Right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(node *TreeNode) {
    if node == nil {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(node.Left)
    postOrder(node.Right)
    nums = append(nums, node.Val)
}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_tree_dfs.swift"
/* 前序遍历 */
func preOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.append(root.val)
    preOrder(root: root.left)
    preOrder(root: root.right)
}

/* 中序遍历 */
func inOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root: root.left)
    list.append(root.val)
    inOrder(root: root.right)
}

/* 后序遍历 */
func postOrder(root: TreeNode?) {
    guard let root = root else {
        return
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root: root.left)
    postOrder(root: root.right)
    list.append(root.val)
}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_tree_dfs.js"
/* 前序遍历 */
function preOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root) {
    if (root === null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_tree_dfs.ts"
/* 前序遍历 */
function preOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    list.push(root.val);
    preOrder(root.left);
    preOrder(root.right);
}

/* 中序遍历 */
function inOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root.left);
    list.push(root.val);
    inOrder(root.right);
}

/* 后序遍历 */
function postOrder(root: TreeNode | null): void {
    if (root === null) {
        return;
    }
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root.left);
    postOrder(root.right);
    list.push(root.val);
}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_tree_dfs.dart"
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
  list.add(node.val);
  preOrder(node.left);
  preOrder(node.right);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
  inOrder(node.left);
  list.add(node.val);
  inOrder(node.right);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode? node) {
  if (node == null) return;
  // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
  postOrder(node.left);
  postOrder(node.right);
  list.add(node.val);
}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_tree_dfs.rs"
/* 前序遍历 */
fn pre_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
        result.push(node.borrow().val);
        result.append(&mut pre_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.append(&mut pre_order(node.borrow().right.as_ref()));
    }
    result
}

/* 中序遍历 */
fn in_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
        result.append(&mut in_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.push(node.borrow().val);
        result.append(&mut in_order(node.borrow().right.as_ref()));
    }
    result
}

/* 后序遍历 */
fn post_order(root: Option<&Rc<RefCell<TreeNode>>>) -> Vec<i32> {
    let mut result = vec![];

    if let Some(node) = root {
        // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
        result.append(&mut post_order(node.borrow().left.as_ref()));
        result.append(&mut post_order(node.borrow().right.as_ref()));
        result.push(node.borrow().val);
    }
    result
}
```

=== "C"

```c title="binary_tree_dfs.c"
/* 前序遍历 */
void preOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    arr[(*size)++] = root->val;
    preOrder(root->left, size);
    preOrder(root->right, size);
}

/* 中序遍历 */
void inOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    inOrder(root->left, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
    inOrder(root->right, size);
}

/* 后序遍历 */
void postOrder(TreeNode *root, int *size) {
    if (root == NULL)
        return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    postOrder(root->left, size);
    postOrder(root->right, size);
    arr[(*size)++] = root->val;
}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_tree_dfs.zig"
// 前序遍历
fn preOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：根节点 -> 左子树 -> 右子树
    try list.append(root.?.val);
    try preOrder(T, root.?.left);
    try preOrder(T, root.?.right);
}

// 中序遍历
fn inOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 根节点 -> 右子树
    try inOrder(T, root.?.left);
    try list.append(root.?.val);
    try inOrder(T, root.?.right);
}

// 后序遍历
fn postOrder(comptime T: type, root: ?*inc.TreeNode(T)) !void {
    if (root == null) return;
    // 访问优先级：左子树 -> 右子树 -> 根节点
    try postOrder(T, root.?.left);
    try postOrder(T, root.?.right);
    try list.append(root.?.val);
}
```

!!! tip

深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。

图 7-11 展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

“递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
“归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。

=== "<1>" { class="animation-figure" }

=== "<2>" { class="animation-figure" }

=== "<3>" { class="animation-figure" }

=== "<4>" { class="animation-figure" }

=== "<5>" { class="animation-figure" }

=== "<6>" { class="animation-figure" }

=== "<7>" { class="animation-figure" }

=== "<8>" { class="animation-figure" }

=== "<9>" { class="animation-figure" }

=== "<10>" { class="animation-figure" }

=== "<11>" { class="animation-figure" }

图 7-11 前序遍历的递归过程

2. 复杂度分析

时间复杂度为 O(n) ：所有节点被访问一次，使用 O(n) 时间。
空间复杂度为 O(n) ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 n ，系统占用 O(n) 栈帧空间。

25 KiB Raw Blame History Unescape Escape

7.2 二叉树遍历

7.2.1 层序遍历

1. 代码实现

2. 复杂度分析

7.2.2 前序、中序、后序遍历

1. 代码实现

2. 复杂度分析

25 KiB

Raw Blame History Unescape Escape