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二分查找

「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮缩小一半搜索区间来查找目标元素。

使用二分查找有两个前置条件：

• 要求输入数据是有序的，这样才能通过判断大小关系来排除一半的搜索区间；
• 二分查找仅适用于数组 ，而在链表中使用效率很低，因为其在循环中需要跳跃式（非连续地）访问元素。

算法实现

给定一个长度为 n 的排序数组 nums ，元素从小到大排列。数组的索引取值范围为

0, 1, 2, \cdots, n-1

使用「区间」来表示这个取值范围的方法主要有两种：

1. 双闭区间 [0, n-1] ，即两个边界都包含自身；此方法下，区间 [0, 0] 仍包含一个元素；
2. 左闭右开 [0, n) ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；此方法下，区间 [0, 0) 为空；

“双闭区间” 实现

首先，我们先采用 “双闭区间” 的表示，在数组 nums 中查找目标元素 target 的对应索引。

=== "Step 1"

![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)

=== "Step 2"

![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)

=== "Step 3"

![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)

=== "Step 4"

![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)

=== "Step 5"

![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)

=== "Step 6"

![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)

=== "Step 7"

![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)

二分查找 “双闭区间” 表示下的代码如下所示。

=== "Java"

```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(int[] nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.length - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（双闭区间） */
int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    // 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
    int i = 0, j = nums.size() - 1;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
    while (i <= j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
            j = m - 1;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
```

“左闭右开” 实现

当然，我们也可以使用 “左闭右开” 的表示方法，写出相同功能的二分查找代码。

=== "Java"

```java title="binary_search.java"
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearch1(int[] nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.length;
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search.cpp"
/* 二分查找（左闭右开） */
int binarySearch1(vector<int>& nums, int target) {
    // 初始化左闭右开 [0, n) ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素+1
    int i = 0, j = nums.size();
    // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
    while (i < j) {
        int m = (i + j) / 2;       // 计算中点索引 m
        if (nums[m] < target)      // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
            i = m + 1;
        else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
            j = m;
        else                       // 找到目标元素，返回其索引
            return m;
    }
    // 未找到目标元素，返回 -1
    return -1;
}
```

两种表示对比

对比下来，两种表示的代码写法有以下不同点：

表示方法	初始化指针	缩小区间	循环终止条件
双闭区间 [0, n-1]	i = 0 , j = n-1	i = m + 1 , j = m - 1	i > j
左闭右开 [0, n)	i = 0 , j = n	i = m + 1 , j = m	i = j

观察发现，在 “双闭区间” 表示中，由于对左右两边界的定义是相同的，因此缩小区间的 i , j 处理方法也是对称的，这样更不容易出错。综上所述，建议你采用 “双闭区间” 的写法。

大数越界处理

当数组长度很大时，加法 i + j 的结果有可能会超出 int 类型的取值范围。在此情况下，我们需要换一种计算中点的写法。

=== "Java"

```java
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```

=== "C++"

```cpp
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```

=== "Python"

```py
# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存）
# 因此无需考虑大数越界问题 
```

复杂度分析

时间复杂度 O(\log n) ： 其中 n 为数组或链表长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 \log_2 n ，使用 O(\log n) 时间。

空间复杂度 O(1) ： 指针 i , j 使用常数大小空间。

优缺点

二分查找效率很高，体现在：

• 二分查找时间复杂度低。 对数阶在数据量很大时具有巨大优势，例如，当数据大小 n = 2^{20} 时，线性查找需要 2^{20} = 1048576 轮循环，而二分查找仅需要 \log_2 2^{20} = 20 轮循环。
• 二分查找不需要额外空间。 相对于借助额外数据结构来实现查找的算法来说，其更加节约空间使用。

但并不意味着所有情况下都应使用二分查找，这是因为：

• 二分查找仅适用于有序数据。 如果输入数据是乱序的，为了使用二分查找而专门执行数据排序，那么是得不偿失的，因为排序算法的时间复杂度一般为 O(n \log n) ，比线性查找和二分查找都更差。再例如，对于频繁插入元素的场景，为了保持数组的有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 O(n) ，也是非常昂贵的。
• 二分查找仅适用于数组。 由于在二分查找中，访问索引是 ”非连续“ 的，因此链表或者基于链表实现的数据结构都无法使用。
• 在小数据量下，线性查找的性能更好。 在线性查找中，每轮只需要 1 次判断操作；而在二分查找中，需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判断操作、1 次加法（减法），共 4 ~ 6 个单元操作；因此，在数据量 n 较小时，线性查找反而比二分查找更快。