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计数排序
前面介绍的几种排序算法都属于 基于比较的排序算法，即通过比较元素之间的大小来实现排序，此类排序算法的时间复杂度无法超越 O(n \log n) 。接下来，我们将学习一种 非比较排序算法 ，名为「计数排序 Counting Sort」，其时间复杂度可以达到 O(n) 。
简单实现
先看一个简单例子。给定一个长度为 n 的数组 nums ，元素皆为 非负整数。计数排序的整体流程为：
- 统计数组的最大数字，记为
m，并建立一个长度为m + 1的辅助数组counter； - 借助
counter统计nums中各数字的出现次数，其中counter[num]对应数字num的出现次数。统计方法很简单，只需遍历nums（设当前数字为num），每轮将counter[num]自增1即可。 - 由于
counter的各个索引是天然有序的，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历counter，根据各数字的出现次数，将各数字按从小到大的顺序填入nums即可。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
以下是实现代码，计数排序名副其实，确实是通过“统计数量”来实现排序的。
=== "Java"
```java title="counting_sort.java"
[class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "C++"
```cpp title="counting_sort.cpp"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "Python"
```python title="counting_sort.py"
[class]{}-[func]{counting_sort_naive}
```
=== "Go"
```go title="counting_sort.go"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="counting_sort.js"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="counting_sort.ts"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "C"
```c title="counting_sort.c"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "C#"
```csharp title="counting_sort.cs"
[class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "Swift"
```swift title="counting_sort.swift"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
=== "Zig"
```zig title="counting_sort.zig"
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
```
完整实现
细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。例如输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。
那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的「前缀和」，顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和，即
\text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]}
前缀和具有明确意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息很关键，因为其给出了各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行：
- 将
num填入数组res的索引prefix[num] - 1处； - 令前缀和
prefix[num]自减1，从而得到下次放置num的索引；
完成遍历后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可；
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
计数排序的实现代码如下所示。
=== "Java"
```java title="counting_sort.java"
[class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
```
=== "C++"
```cpp title="counting_sort.cpp"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "Python"
```python title="counting_sort.py"
[class]{}-[func]{counting_sort}
```
=== "Go"
```go title="counting_sort.go"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="counting_sort.js"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="counting_sort.ts"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "C"
```c title="counting_sort.c"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "C#"
```csharp title="counting_sort.cs"
[class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
```
=== "Swift"
```swift title="counting_sort.swift"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
=== "Zig"
```zig title="counting_sort.zig"
[class]{}-[func]{countingSort}
```
算法特性
时间复杂度 O(n + m) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 n \gg m ，此时使用线性 O(n) 时间。
空间复杂度 O(n + m) ：数组 res 和 counter 长度分别为 n , m 。
非原地排序：借助了辅助数组 counter 和结果数组 res 的额外空间。
稳定排序：倒序遍历 nums 保持了相等元素的相对位置。
非自适应排序：与元素分布无关。
!!! question "为什么是稳定排序？"
由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。
局限性
看到这里，你也许会觉得计数排序太妙了，咔咔一通操作，时间复杂度就下来了。但实际上与其它算法一样，计数排序也无法摆脱“此消彼长”的宿命，时间复杂度优化的代价是通用型变差。
计数排序只适用于非负整数。若想要用在其他类型数据上，则要求该数据必须可以被转化为非负整数，并且不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。
计数排序只适用于数据范围不大的情况。比如，上述示例中 m 不能太大，否则占用空间太多；而当 n \ll m 时，计数排序使用 O(m) 时间，有可能比 O(n \log n) 的排序算法还要慢。