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Raw Blame History

0-1 背包问题

背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

在本节中，我们先来求解最常见的 0-1 背包问题。

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给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ，和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次，问在限定背包容量下能放入物品的最大价值。

观察下图，由于物品编号 i 从 1 开始计数，数组索引从 0 开始计数，因此物品 i 对应重量 wgt[i-1] 和价值 val[i-1] 。

我们可以将 0-1 背包问题看作一个由 n 轮决策组成的过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题满足决策树模型。

该问题的目标是求解“在限定背包容量下能放入物品的最大价值”，因此较大概率是一个动态规划问题。

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 dp 表

对于每个物品来说，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 i 和剩余背包容量 c ，记为 [i, c] 。

状态 [i, c] 对应的子问题为：前 i 个物品在剩余容量为 c 的背包中的最大价值，记为 dp[i, c] 。

待求解的是 dp[n, cap] ，因此需要一个尺寸为 (n+1) \times (cap+1) 的二维 dp 表。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

当我们做出物品 i 的决策后，剩余的是前 i-1 个物品的决策，可分为以下两种情况。

不放入物品 i ：背包容量不变，状态变化为 [i-1, c] 。
放入物品 i ：背包容量减少 wgt[i-1] ，价值增加 val[i-1] ，状态变化为 [i-1, c-wgt[i-1]] 。

上述分析向我们揭示了本题的最优子结构：最大价值 dp[i, c] 等于不放入物品 i 和放入物品 i 两种方案中价值更大的那一个。由此可推导出状态转移方程：


dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])

需要注意的是，若当前物品重量 wgt[i - 1] 超出剩余背包容量 c ，则只能选择不放入背包。

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 0 ，即首列 dp[i, 0] 和首行 dp[0, c] 都等于 0 。

当前状态 [i, c] 从上方的状态 [i-1, c] 和左上方的状态 [i-1, c-wgt[i-1]] 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 dp 表即可。

根据以上分析，我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。

方法一：暴力搜索

搜索代码包含以下要素。

递归参数：状态 [i, c] 。
返回值：子问题的解 dp[i, c] 。
终止条件：当物品编号越界 i = 0 或背包剩余容量为 0 时，终止递归并返回价值 0 。
剪枝：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能选择不放入背包。

[file]{knapsack}-[class]{}-[func]{knapsack_dfs}

如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此时间复杂度为 O(2^n) 。

观察递归树，容易发现其中存在重叠子问题，例如 dp[1, 10] 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。

方法二：记忆化搜索

为了保证重叠子问题只被计算一次，我们借助记忆列表 mem 来记录子问题的解，其中 mem[i][c] 对应 dp[i, c] 。

引入记忆化之后，时间复杂度取决于子问题数量，也就是 O(n \times cap) 。实现代码如下：

[file]{knapsack}-[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}

下图展示了在记忆化搜索中被剪掉的搜索分支。

方法三：动态规划

动态规划实质上就是在状态转移中填充 dp 表的过程，代码如下所示：

[file]{knapsack}-[class]{}-[func]{knapsack_dp}

如下图所示，时间复杂度和空间复杂度都由数组 dp 大小决定，即 O(n \times cap) 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

=== "<13>"

=== "<14>"

空间优化

由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 O(n^2) 降至 O(n) 。

进一步思考，我们能否仅用一个数组实现空间优化呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当开始遍历第 i 行时，该数组存储的仍然是第 i-1 行的状态。

如果采取正序遍历，那么遍历到 dp[i, j] 时，左上方 dp[i-1, 1] ~ dp[i-1, j-1] 值可能已经被覆盖，此时就无法得到正确的状态转移结果。
如果采取倒序遍历，则不会发生覆盖问题，状态转移可以正确进行。

下图展示了在单个数组下从第 i = 1 行转换至第 i = 2 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。