|
|
# 哈希冲突
|
|
|
|
|
|
上一节提到,**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**,因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如,输入空间为全体整数,输出空间为数组容量大小,则必然有多个整数映射至同一桶索引。
|
|
|
|
|
|
哈希冲突会导致查询结果错误,严重影响哈希表的可用性。为解决该问题,我们可以每当遇到哈希冲突就进行哈希表扩容,直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效,但效率太低,因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率,我们可以采用以下策略。
|
|
|
|
|
|
1. 改良哈希表数据结构,**使得哈希表可以在出现哈希冲突时正常工作**。
|
|
|
2. 仅在必要时,即当哈希冲突比较严重时,才执行扩容操作。
|
|
|
|
|
|
哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。
|
|
|
|
|
|
## 链式地址
|
|
|
|
|
|
在原始哈希表中,每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表,将键值对作为链表节点,将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。
|
|
|
|
|
|
![链式地址哈希表](hash_collision.assets/hash_table_chaining.png)
|
|
|
|
|
|
基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。
|
|
|
|
|
|
- **查询元素**:输入 `key` ,经过哈希函数得到桶索引,即可访问链表头节点,然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
|
|
|
- **添加元素**:首先通过哈希函数访问链表头节点,然后将节点(键值对)添加到链表中。
|
|
|
- **删除元素**:根据哈希函数的结果访问链表头部,接着遍历链表以查找目标节点并将其删除。
|
|
|
|
|
|
链式地址存在以下局限性。
|
|
|
|
|
|
- **占用空间增大**,链表包含节点指针,它相比数组更加耗费内存空间。
|
|
|
- **查询效率降低**,因为需要线性遍历链表来查找对应元素。
|
|
|
|
|
|
以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现,需要注意两点。
|
|
|
|
|
|
- 使用列表(动态数组)代替链表,从而简化代码。在这种设定下,哈希表(数组)包含多个桶,每个桶都是一个列表。
|
|
|
- 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 $\frac{2}{3}$ 时,我们将哈希表扩容至原先的 $2$ 倍。
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{hash_map_chaining}-[class]{hash_map_chaining}-[func]{}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
值得注意的是,当链表很长时,查询效率 $O(n)$ 很差。**此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”**,从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
|
|
|
|
|
|
## 开放寻址
|
|
|
|
|
|
「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构,而是通过“多次探测”来处理哈希冲突,探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。
|
|
|
|
|
|
下面以线性探测为例,介绍开放寻址哈希表的工作机制。
|
|
|
|
|
|
### 线性探测
|
|
|
|
|
|
线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测,其操作方法与普通哈希表有所不同。
|
|
|
|
|
|
- **插入元素**:通过哈希函数计算桶索引,若发现桶内已有元素,则从冲突位置向后线性遍历(步长通常为 $1$ ),直至找到空桶,将元素插入其中。
|
|
|
- **查找元素**:若发现哈希冲突,则使用相同步长向后线性遍历,直到找到对应元素,返回 `value` 即可;如果遇到空桶,说明目标元素不在哈希表中,返回 $\text{None}$ 。
|
|
|
|
|
|
下图展示了开放寻址(线性探测)哈希表的键值对分布。根据此哈希函数,最后两位相同的 `key` 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测,它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。
|
|
|
|
|
|
![开放寻址和线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)
|
|
|
|
|
|
然而,**线性探测容易产生“聚集现象”**。具体来说,数组中连续被占用的位置越长,这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大,从而进一步促使该位置的聚堆生长,形成恶性循环,最终导致增删查改操作效率劣化。
|
|
|
|
|
|
值得注意的是,**我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素**。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 $\text{None}$ ,而当查询元素时,线性探测到该空桶就会返回,因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到,程序可能误判这些元素不存在。
|
|
|
|
|
|
![在开放寻址中删除元素导致的查询问题](hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png)
|
|
|
|
|
|
为了解决该问题,我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制:它不直接从哈希表中移除元素,**而是利用一个常量 `TOMBSTONE` 来标记这个桶**。在该机制下,$\text{None}$ 和 `TOMBSTONE` 都代表空桶,都可以放置键值对。但不同的是,线性探测到 `TOMBSTONE` 时应该继续遍历,因为其之下可能还存在键值对。
|
|
|
|
|
|
然而,**懒删除可能会加速哈希表的性能退化**。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记,随着 `TOMBSTONE` 的增加,搜索时间也会增加,因为线性探测可能需要跳过多个 `TOMBSTONE` 才能找到目标元素。
|
|
|
|
|
|
为此,考虑在线性探测中记录遇到的首个 `TOMBSTONE` 的索引,并将搜索到的目标元素与该 `TOMBSTONE` 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时,元素会被移动至距离理想位置(探测起始点)更近的桶,从而优化查询效率。
|
|
|
|
|
|
以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址(线性探测)哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间,我们将哈希表看作一个“环形数组”,当越过数组尾部时,回到头部继续遍历。
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{hash_map_open_addressing}-[class]{hash_map_open_addressing}-[func]{}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 平方探测
|
|
|
|
|
|
平方探测与线性探测类似,都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时,平方探测不是简单地跳过一个固定的步数,而是跳过“探测次数的平方”的步数,即 $1, 4, 9, \dots$ 步。
|
|
|
|
|
|
平方探测主要具有以下优势。
|
|
|
|
|
|
- 平方探测通过跳过平方的距离,试图缓解线性探测的聚集效应。
|
|
|
- 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置,有助于数据分布得更加均匀。
|
|
|
|
|
|
然而,平方探测也并不是完美的。
|
|
|
|
|
|
- 仍然存在聚集现象,即某些位置比其他位置更容易被占用。
|
|
|
- 由于平方的增长,平方探测可能不会探测整个哈希表,这意味着即使哈希表中有空桶,平方探测也可能无法访问到它。
|
|
|
|
|
|
### 多次哈希
|
|
|
|
|
|
顾名思义,多次哈希方法使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。
|
|
|
|
|
|
- **插入元素**:若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突,则尝试 $f_2(x)$ ,以此类推,直到找到空桶后插入元素。
|
|
|
- **查找元素**:在相同的哈希函数顺序下进行查找,直到找到目标元素时返回;若遇到空桶或已尝试所有哈希函数,说明哈希表中不存在该元素,则返回 $\text{None}$ 。
|
|
|
|
|
|
与线性探测相比,多次哈希方法不易产生聚集,但多个哈希函数会带来额外的计算量。
|
|
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
|
|
请注意,开放寻址(线性探测、平方探测和多次哈希)哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。
|
|
|
|
|
|
## 编程语言的选择
|
|
|
|
|
|
各个编程语言采取了不同的哈希表实现策略,以下举几个例子。
|
|
|
|
|
|
- Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
|
|
|
- Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来,当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时,链表会转换为红黑树以提升查找性能。
|
|
|
- Go 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对,超出容量则连接一个溢出桶。当溢出桶过多时,会执行一次特殊的等量扩容操作,以确保性能。
|