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hello-algo/docs/chapter_hashing/hash_collision.md

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# 哈希冲突
上一节提到,**通常情况下哈希函数的输入空间远大于输出空间**,因此理论上哈希冲突是不可避免的。比如,输入空间为全体整数,输出空间为数组容量大小,则必然有多个整数映射至同一桶索引。
哈希冲突会导致查询结果错误,严重影响哈希表的可用性。为解决该问题,我们可以每当遇到哈希冲突就进行哈希表扩容,直至冲突消失为止。此方法简单粗暴且有效,但效率太低,因为哈希表扩容需要进行大量的数据搬运与哈希值计算。为了提升效率,我们可以采用以下策略。
1. 改良哈希表数据结构,**使得哈希表可以在出现哈希冲突时正常工作**。
2. 仅在必要时,即当哈希冲突比较严重时,才执行扩容操作。
哈希表的结构改良方法主要包括“链式地址”和“开放寻址”。
## 链式地址
在原始哈希表中,每个桶仅能存储一个键值对。「链式地址 separate chaining」将单个元素转换为链表将键值对作为链表节点将所有发生冲突的键值对都存储在同一链表中。下图展示了一个链式地址哈希表的例子。
![链式地址哈希表](hash_collision.assets/hash_table_chaining.png)
基于链式地址实现的哈希表的操作方法发生了以下变化。
- **查询元素**:输入 `key` ,经过哈希函数得到桶索引,即可访问链表头节点,然后遍历链表并对比 `key` 以查找目标键值对。
- **添加元素**:首先通过哈希函数访问链表头节点,然后将节点(键值对)添加到链表中。
- **删除元素**:根据哈希函数的结果访问链表头部,接着遍历链表以查找目标节点并将其删除。
链式地址存在以下局限性。
- **占用空间增大**,链表包含节点指针,它相比数组更加耗费内存空间。
- **查询效率降低**,因为需要线性遍历链表来查找对应元素。
以下代码给出了链式地址哈希表的简单实现,需要注意两点。
- 使用列表(动态数组)代替链表,从而简化代码。在这种设定下,哈希表(数组)包含多个桶,每个桶都是一个列表。
- 以下实现包含哈希表扩容方法。当负载因子超过 $\frac{2}{3}$ 时,我们将哈希表扩容至原先的 $2$ 倍。
```src
[file]{hash_map_chaining}-[class]{hash_map_chaining}-[func]{}
```
值得注意的是,当链表很长时,查询效率 $O(n)$ 很差。**此时可以将链表转换为“AVL 树”或“红黑树”**,从而将查询操作的时间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
## 开放寻址
「开放寻址 open addressing」不引入额外的数据结构而是通过“多次探测”来处理哈希冲突探测方式主要包括线性探测、平方探测、多次哈希等。
下面以线性探测为例,介绍开放寻址哈希表的工作机制。
### 线性探测
线性探测采用固定步长的线性搜索来进行探测,其操作方法与普通哈希表有所不同。
- **插入元素**:通过哈希函数计算桶索引,若发现桶内已有元素,则从冲突位置向后线性遍历(步长通常为 $1$ ),直至找到空桶,将元素插入其中。
- **查找元素**:若发现哈希冲突,则使用相同步长向后线性遍历,直到找到对应元素,返回 `value` 即可;如果遇到空桶,说明目标元素不在哈希表中,返回 $\text{None}$ 。
下图展示了开放寻址(线性探测)哈希表的键值对分布。根据此哈希函数,最后两位相同的 `key` 都会被映射到相同的桶。而通过线性探测,它们被依次存储在该桶以及之下的桶中。
![开放寻址和线性探测](hash_collision.assets/hash_table_linear_probing.png)
然而,**线性探测容易产生“聚集现象”**。具体来说,数组中连续被占用的位置越长,这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大,从而进一步促使该位置的聚堆生长,形成恶性循环,最终导致增删查改操作效率劣化。
值得注意的是,**我们不能在开放寻址哈希表中直接删除元素**。这是因为删除元素会在数组内产生一个空桶 $\text{None}$ ,而当查询元素时,线性探测到该空桶就会返回,因此在该空桶之下的元素都无法再被访问到,程序可能误判这些元素不存在。
![在开放寻址中删除元素导致的查询问题](hash_collision.assets/hash_table_open_addressing_deletion.png)
为了解决该问题,我们可以采用「懒删除 lazy deletion」机制它不直接从哈希表中移除元素**而是利用一个常量 `TOMBSTONE` 来标记这个桶**。在该机制下,$\text{None}$ 和 `TOMBSTONE` 都代表空桶,都可以放置键值对。但不同的是,线性探测到 `TOMBSTONE` 时应该继续遍历,因为其之下可能还存在键值对。
然而,**懒删除可能会加速哈希表的性能退化**。这是因为每次删除操作都会产生一个删除标记,随着 `TOMBSTONE` 的增加,搜索时间也会增加,因为线性探测可能需要跳过多个 `TOMBSTONE` 才能找到目标元素。
为此,考虑在线性探测中记录遇到的首个 `TOMBSTONE` 的索引,并将搜索到的目标元素与该 `TOMBSTONE` 交换位置。这样做的好处是当每次查询或添加元素时,元素会被移动至距离理想位置(探测起始点)更近的桶,从而优化查询效率。
以下代码实现了一个包含懒删除的开放寻址(线性探测)哈希表。为了更加充分地使用哈希表的空间,我们将哈希表看作一个“环形数组”,当越过数组尾部时,回到头部继续遍历。
```src
[file]{hash_map_open_addressing}-[class]{hash_map_open_addressing}-[func]{}
```
### 平方探测
平方探测与线性探测类似,都是开放寻址的常见策略之一。当发生冲突时,平方探测不是简单地跳过一个固定的步数,而是跳过“探测次数的平方”的步数,即 $1, 4, 9, \dots$ 步。
平方探测主要具有以下优势。
- 平方探测通过跳过平方的距离,试图缓解线性探测的聚集效应。
- 平方探测会跳过更大的距离来寻找空位置,有助于数据分布得更加均匀。
然而,平方探测也并不是完美的。
- 仍然存在聚集现象,即某些位置比其他位置更容易被占用。
- 由于平方的增长,平方探测可能不会探测整个哈希表,这意味着即使哈希表中有空桶,平方探测也可能无法访问到它。
### 多次哈希
顾名思义,多次哈希方法使用多个哈希函数 $f_1(x)$、$f_2(x)$、$f_3(x)$、$\dots$ 进行探测。
- **插入元素**:若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突,则尝试 $f_2(x)$ ,以此类推,直到找到空桶后插入元素。
- **查找元素**:在相同的哈希函数顺序下进行查找,直到找到目标元素时返回;若遇到空桶或已尝试所有哈希函数,说明哈希表中不存在该元素,则返回 $\text{None}$ 。
与线性探测相比,多次哈希方法不易产生聚集,但多个哈希函数会带来额外的计算量。
!!! tip
请注意,开放寻址(线性探测、平方探测和多次哈希)哈希表都存在“不能直接删除元素”的问题。
## 编程语言的选择
各个编程语言采取了不同的哈希表实现策略,以下举几个例子。
- Python 采用开放寻址。字典 dict 使用伪随机数进行探测。
- Java 采用链式地址。自 JDK 1.8 以来,当 HashMap 内数组长度达到 64 且链表长度达到 8 时,链表会转换为红黑树以提升查找性能。
- Go 采用链式地址。Go 规定每个桶最多存储 8 个键值对,超出容量则连接一个溢出桶。当溢出桶过多时,会执行一次特殊的等量扩容操作,以确保性能。