49 KiB
comments |
---|
true |
13.2 全排列问题
全排列问题是回溯算法的一个典型应用。它的定义是在给定一个集合(如一个数组或字符串)的情况下,找出其中元素的所有可能的排列。
表 13-2 列举了几个示例数据,包括输入数组和对应的所有排列。
表 13-2 全排列示例
输入数组 | 所有排列 |
---|---|
[1] |
[1] |
[1, 2] |
[1, 2], [2, 1] |
[1, 2, 3] |
[1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3], [2, 3, 1], [3, 1, 2], [3, 2, 1] |
13.2.1 无相等元素的情况
!!! question
输入一个整数数组,其中不包含重复元素,返回所有可能的排列。
从回溯算法的角度看,我们可以把生成排列的过程想象成一系列选择的结果。假设输入数组为 [1, 2, 3]
,如果我们先选择 1
,再选择 3
,最后选择 2
,则获得排列 [1, 3, 2]
。回退表示撤销一个选择,之后继续尝试其他选择。
从回溯代码的角度看,候选集合 choices
是输入数组中的所有元素,状态 state
是直至目前已被选择的元素。请注意,每个元素只允许被选择一次,因此 state
中的所有元素都应该是唯一的。
如图 13-5 所示,我们可以将搜索过程展开成一棵递归树,树中的每个节点代表当前状态 state
。从根节点开始,经过三轮选择后到达叶节点,每个叶节点都对应一个排列。
图 13-5 全排列的递归树
1. 重复选择剪枝
为了实现每个元素只被选择一次,我们考虑引入一个布尔型数组 selected
,其中 selected[i]
表示 choices[i]
是否已被选择,并基于它实现以下剪枝操作。
- 在做出选择
choice[i]
后,我们就将selected[i]
赋值为\text{True}
,代表它已被选择。 - 遍历选择列表
choices
时,跳过所有已被选择的节点,即剪枝。
如图 13-6 所示,假设我们第一轮选择 1 ,第二轮选择 3 ,第三轮选择 2 ,则需要在第二轮剪掉元素 1 的分支,在第三轮剪掉元素 1 和元素 3 的分支。
图 13-6 全排列剪枝示例
观察图 13-6 发现,该剪枝操作将搜索空间大小从 O(n^n)
减小至 O(n!)
。
2. 代码实现
想清楚以上信息之后,我们就可以在框架代码中做“完形填空”了。为了缩短整体代码,我们不单独实现框架代码中的各个函数,而是将它们展开在 backtrack()
函数中:
=== "Python"
```python title="permutations_i.py"
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""回溯算法:全排列 I"""
# 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# 遍历所有选择
for i, choice in enumerate(choices):
# 剪枝:不允许重复选择元素
if not selected[i]:
# 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = True
state.append(choice)
# 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res)
# 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = False
state.pop()
def permutations_i(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
"""全排列 I"""
res = []
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
return res
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_i.cpp"
/* 回溯算法:全排列 I */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.push_back(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop_back();
}
}
}
/* 全排列 I */
vector<vector<int>> permutationsI(vector<int> nums) {
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="permutations_i.java"
/* 回溯算法:全排列 I */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.add(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.size() - 1);
}
}
}
/* 全排列 I */
List<List<Integer>> permutationsI(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_i.cs"
/* 回溯算法:全排列 I */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.Count == choices.Length) {
res.Add(new List<int>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.Add(choice);
// 进行下一轮选择
Backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.RemoveAt(state.Count - 1);
}
}
}
/* 全排列 I */
List<List<int>> PermutationsI(int[] nums) {
List<List<int>> res = [];
Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="permutations_i.go"
/* 回溯算法:全排列 I */
func backtrackI(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(*state) == len(*choices) {
newState := append([]int{}, *state...)
*res = append(*res, newState)
}
// 遍历所有选择
for i := 0; i < len(*choices); i++ {
choice := (*choices)[i]
// 剪枝:不允许重复选择元素
if !(*selected)[i] {
// 尝试:做出选择,更新状态
(*selected)[i] = true
*state = append(*state, choice)
// 进行下一轮选择
backtrackI(state, choices, selected, res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
(*selected)[i] = false
*state = (*state)[:len(*state)-1]
}
}
}
/* 全排列 I */
func permutationsI(nums []int) [][]int {
res := make([][]int, 0)
state := make([]int, 0)
selected := make([]bool, len(nums))
backtrackI(&state, &nums, &selected, &res)
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_i.swift"
/* 回溯算法:全排列 I */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if state.count == choices.count {
res.append(state)
return
}
// 遍历所有选择
for (i, choice) in choices.enumerated() {
// 剪枝:不允许重复选择元素
if !selected[i] {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true
state.append(choice)
// 进行下一轮选择
backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false
state.removeLast()
}
}
}
/* 全排列 I */
func permutationsI(nums: [Int]) -> [[Int]] {
var state: [Int] = []
var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
var res: [[Int]] = []
backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="permutations_i.js"
/* 回溯算法:全排列 I */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// 遍历所有选择
choices.forEach((choice, i) => {
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* 全排列 I */
function permutationsI(nums) {
const res = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="permutations_i.ts"
/* 回溯算法:全排列 I */
function backtrack(
state: number[],
choices: number[],
selected: boolean[],
res: number[][]
): void {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// 遍历所有选择
choices.forEach((choice, i) => {
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* 全排列 I */
function permutationsI(nums: number[]): number[][] {
const res: number[][] = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="permutations_i.dart"
/* 回溯算法:全排列 I */
void backtrack(
List<int> state,
List<int> choices,
List<bool> selected,
List<List<int>> res,
) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length == choices.length) {
res.add(List.from(state));
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.add(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.removeLast();
}
}
}
/* 全排列 I */
List<List<int>> permutationsI(List<int> nums) {
List<List<int>> res = [];
backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_i.rs"
/* 回溯算法:全排列 I */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if !selected[i] {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.len() - 1);
}
}
}
/* 全排列 I */
fn permutations_i(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new(); // 状态(子集)
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
```
=== "C"
```c title="permutations_i.c"
/* 回溯算法:全排列 I */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (stateSize == choicesSize) {
res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
res[*resSize][i] = state[i];
}
(*resSize)++;
return;
}
// 遍历所有选择
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true;
state[stateSize] = choice;
// 进行下一轮选择
backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
}
}
}
/* 全排列 I */
int **permutationsI(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
selected[i] = false;
}
int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
*returnSize = 0;
backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);
free(state);
free(selected);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="permutations_i.kt"
/* 回溯算法:全排列 I */
fun backtrack(
state: MutableList<Int>,
choices: IntArray,
selected: BooleanArray,
res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size == choices.size) {
res.add(state.toMutableList())
return
}
// 遍历所有选择
for (i in choices.indices) {
val choice = choices[i]
// 剪枝:不允许重复选择元素
if (!selected[i]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
selected[i] = true
state.add(choice)
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false
state.removeAt(state.size - 1)
}
}
}
/* 全排列 I */
fun permutationsI(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="permutations_i.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_i}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_i.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsI}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20selected%3A%20list%5Bbool%5D,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%8A%B6%E6%80%81%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%87%8F%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20i,%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20choices,%20selected,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D,%20choices%3Dnums,%20selected%3D%5BFalse%5D%20*%20len%28nums%29,%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_i%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20selected%3A%20list%5Bbool%5D,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%8A%B6%E6%80%81%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%87%8F%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20for%20i,%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20choices,%20selected,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_i%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20I%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D,%20choices%3Dnums,%20selected%3D%5BFalse%5D%20*%20len%28nums%29,%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%202,%203%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_i%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
13.2.2 考虑相等元素的情况
!!! question
输入一个整数数组,**数组中可能包含重复元素**,返回所有不重复的排列。
假设输入数组为 [1, 1, 2]
。为了方便区分两个重复元素 1
,我们将第二个 1
记为 \hat{1}
。
如图 13-7 所示,上述方法生成的排列有一半是重复的。
图 13-7 重复排列
那么如何去除重复的排列呢?最直接地,考虑借助一个哈希集合,直接对排列结果进行去重。然而这样做不够优雅,因为生成重复排列的搜索分支没有必要,应当提前识别并剪枝,这样可以进一步提升算法效率。
1. 相等元素剪枝
观察图 13-8 ,在第一轮中,选择 1
或选择 \hat{1}
是等价的,在这两个选择之下生成的所有排列都是重复的。因此应该把 \hat{1}
剪枝。
同理,在第一轮选择 2
之后,第二轮选择中的 1
和 \hat{1}
也会产生重复分支,因此也应将第二轮的 \hat{1}
剪枝。
从本质上看,我们的目标是在某一轮选择中,保证多个相等的元素仅被选择一次。
图 13-8 重复排列剪枝
2. 代码实现
在上一题的代码的基础上,我们考虑在每一轮选择中开启一个哈希集合 duplicated
,用于记录该轮中已经尝试过的元素,并将重复元素剪枝:
=== "Python"
```python title="permutations_ii.py"
def backtrack(
state: list[int], choices: list[int], selected: list[bool], res: list[list[int]]
):
"""回溯算法:全排列 II"""
# 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(state) == len(choices):
res.append(list(state))
return
# 遍历所有选择
duplicated = set[int]()
for i, choice in enumerate(choices):
# 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if not selected[i] and choice not in duplicated:
# 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice) # 记录选择过的元素值
selected[i] = True
state.append(choice)
# 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res)
# 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = False
state.pop()
def permutations_ii(nums: list[int]) -> list[list[int]]:
"""全排列 II"""
res = []
backtrack(state=[], choices=nums, selected=[False] * len(nums), res=res)
return res
```
=== "C++"
```cpp title="permutations_ii.cpp"
/* 回溯算法:全排列 II */
void backtrack(vector<int> &state, const vector<int> &choices, vector<bool> &selected, vector<vector<int>> &res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.size()) {
res.push_back(state);
return;
}
// 遍历所有选择
unordered_set<int> duplicated;
for (int i = 0; i < choices.size(); i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && duplicated.find(choice) == duplicated.end()) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.emplace(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.push_back(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop_back();
}
}
}
/* 全排列 II */
vector<vector<int>> permutationsII(vector<int> nums) {
vector<int> state;
vector<bool> selected(nums.size(), false);
vector<vector<int>> res;
backtrack(state, nums, selected, res);
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="permutations_ii.java"
/* 回溯算法:全排列 II */
void backtrack(List<Integer> state, int[] choices, boolean[] selected, List<List<Integer>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size() == choices.length) {
res.add(new ArrayList<Integer>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
Set<Integer> duplicated = new HashSet<Integer>();
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.add(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.size() - 1);
}
}
}
/* 全排列 II */
List<List<Integer>> permutationsII(int[] nums) {
List<List<Integer>> res = new ArrayList<List<Integer>>();
backtrack(new ArrayList<Integer>(), nums, new boolean[nums.length], res);
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="permutations_ii.cs"
/* 回溯算法:全排列 II */
void Backtrack(List<int> state, int[] choices, bool[] selected, List<List<int>> res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.Count == choices.Length) {
res.Add(new List<int>(state));
return;
}
// 遍历所有选择
HashSet<int> duplicated = [];
for (int i = 0; i < choices.Length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.Contains(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.Add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.Add(choice);
// 进行下一轮选择
Backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.RemoveAt(state.Count - 1);
}
}
}
/* 全排列 II */
List<List<int>> PermutationsII(int[] nums) {
List<List<int>> res = [];
Backtrack([], nums, new bool[nums.Length], res);
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="permutations_ii.go"
/* 回溯算法:全排列 II */
func backtrackII(state *[]int, choices *[]int, selected *[]bool, res *[][]int) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if len(*state) == len(*choices) {
newState := append([]int{}, *state...)
*res = append(*res, newState)
}
// 遍历所有选择
duplicated := make(map[int]struct{}, 0)
for i := 0; i < len(*choices); i++ {
choice := (*choices)[i]
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if _, ok := duplicated[choice]; !ok && !(*selected)[i] {
// 尝试:做出选择,更新状态
// 记录选择过的元素值
duplicated[choice] = struct{}{}
(*selected)[i] = true
*state = append(*state, choice)
// 进行下一轮选择
backtrackII(state, choices, selected, res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
(*selected)[i] = false
*state = (*state)[:len(*state)-1]
}
}
}
/* 全排列 II */
func permutationsII(nums []int) [][]int {
res := make([][]int, 0)
state := make([]int, 0)
selected := make([]bool, len(nums))
backtrackII(&state, &nums, &selected, &res)
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="permutations_ii.swift"
/* 回溯算法:全排列 II */
func backtrack(state: inout [Int], choices: [Int], selected: inout [Bool], res: inout [[Int]]) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if state.count == choices.count {
res.append(state)
return
}
// 遍历所有选择
var duplicated: Set<Int> = []
for (i, choice) in choices.enumerated() {
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if !selected[i], !duplicated.contains(choice) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.insert(choice) // 记录选择过的元素值
selected[i] = true
state.append(choice)
// 进行下一轮选择
backtrack(state: &state, choices: choices, selected: &selected, res: &res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false
state.removeLast()
}
}
}
/* 全排列 II */
func permutationsII(nums: [Int]) -> [[Int]] {
var state: [Int] = []
var selected = Array(repeating: false, count: nums.count)
var res: [[Int]] = []
backtrack(state: &state, choices: nums, selected: &selected, res: &res)
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="permutations_ii.js"
/* 回溯算法:全排列 II */
function backtrack(state, choices, selected, res) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// 遍历所有选择
const duplicated = new Set();
choices.forEach((choice, i) => {
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* 全排列 II */
function permutationsII(nums) {
const res = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="permutations_ii.ts"
/* 回溯算法:全排列 II */
function backtrack(
state: number[],
choices: number[],
selected: boolean[],
res: number[][]
): void {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length === choices.length) {
res.push([...state]);
return;
}
// 遍历所有选择
const duplicated = new Set();
choices.forEach((choice, i) => {
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.has(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.pop();
}
});
}
/* 全排列 II */
function permutationsII(nums: number[]): number[][] {
const res: number[][] = [];
backtrack([], nums, Array(nums.length).fill(false), res);
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="permutations_ii.dart"
/* 回溯算法:全排列 II */
void backtrack(
List<int> state,
List<int> choices,
List<bool> selected,
List<List<int>> res,
) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.length == choices.length) {
res.add(List.from(state));
return;
}
// 遍历所有选择
Set<int> duplicated = {};
for (int i = 0; i < choices.length; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.add(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.removeLast();
}
}
}
/* 全排列 II */
List<List<int>> permutationsII(List<int> nums) {
List<List<int>> res = [];
backtrack([], nums, List.filled(nums.length, false), res);
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="permutations_ii.rs"
/* 回溯算法:全排列 II */
fn backtrack(mut state: Vec<i32>, choices: &[i32], selected: &mut [bool], res: &mut Vec<Vec<i32>>) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if state.len() == choices.len() {
res.push(state);
return;
}
// 遍历所有选择
let mut duplicated = HashSet::<i32>::new();
for i in 0..choices.len() {
let choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if !selected[i] && !duplicated.contains(&choice) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.insert(choice); // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state.push(choice);
// 进行下一轮选择
backtrack(state.clone(), choices, selected, res);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
state.remove(state.len() - 1);
}
}
}
/* 全排列 II */
fn permutations_ii(nums: &mut [i32]) -> Vec<Vec<i32>> {
let mut res = Vec::new();
backtrack(Vec::new(), nums, &mut vec![false; nums.len()], &mut res);
res
}
```
=== "C"
```c title="permutations_ii.c"
/* 回溯算法:全排列 II */
void backtrack(int *state, int stateSize, int *choices, int choicesSize, bool *selected, int **res, int *resSize) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (stateSize == choicesSize) {
res[*resSize] = (int *)malloc(choicesSize * sizeof(int));
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
res[*resSize][i] = state[i];
}
(*resSize)++;
return;
}
// 遍历所有选择
bool duplicated[MAX_SIZE] = {false};
for (int i = 0; i < choicesSize; i++) {
int choice = choices[i];
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated[choice]) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated[choice] = true; // 记录选择过的元素值
selected[i] = true;
state[stateSize] = choice;
// 进行下一轮选择
backtrack(state, stateSize + 1, choices, choicesSize, selected, res, resSize);
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false;
}
}
}
/* 全排列 II */
int **permutationsII(int *nums, int numsSize, int *returnSize) {
int *state = (int *)malloc(numsSize * sizeof(int));
bool *selected = (bool *)malloc(numsSize * sizeof(bool));
for (int i = 0; i < numsSize; i++) {
selected[i] = false;
}
int **res = (int **)malloc(MAX_SIZE * sizeof(int *));
*returnSize = 0;
backtrack(state, 0, nums, numsSize, selected, res, returnSize);
free(state);
free(selected);
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="permutations_ii.kt"
/* 回溯算法:全排列 II */
fun backtrack(
state: MutableList<Int>,
choices: IntArray,
selected: BooleanArray,
res: MutableList<MutableList<Int>?>
) {
// 当状态长度等于元素数量时,记录解
if (state.size == choices.size) {
res.add(state.toMutableList())
return
}
// 遍历所有选择
val duplicated = HashSet<Int>()
for (i in choices.indices) {
val choice = choices[i]
// 剪枝:不允许重复选择元素 且 不允许重复选择相等元素
if (!selected[i] && !duplicated.contains(choice)) {
// 尝试:做出选择,更新状态
duplicated.add(choice) // 记录选择过的元素值
selected[i] = true
state.add(choice)
// 进行下一轮选择
backtrack(state, choices, selected, res)
// 回退:撤销选择,恢复到之前的状态
selected[i] = false
state.removeAt(state.size - 1)
}
}
}
/* 全排列 II */
fun permutationsII(nums: IntArray): MutableList<MutableList<Int>?> {
val res = mutableListOf<MutableList<Int>?>()
backtrack(mutableListOf(), nums, BooleanArray(nums.size), res)
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="permutations_ii.rb"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutations_ii}
```
=== "Zig"
```zig title="permutations_ii.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}
[class]{}-[func]{permutationsII}
```
??? pythontutor "可视化运行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20selected%3A%20list%5Bbool%5D,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%8A%B6%E6%80%81%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%87%8F%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i,%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%85%83%E7%B4%A0%20%E4%B8%94%20%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E7%9B%B8%E7%AD%89%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E9%80%89%E6%8B%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20choices,%20selected,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D,%20choices%3Dnums,%20selected%3D%5BFalse%5D%20*%20len%28nums%29,%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%202,%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20backtrack%28%0A%20%20%20%20state%3A%20list%5Bint%5D,%20choices%3A%20list%5Bint%5D,%20selected%3A%20list%5Bbool%5D,%20res%3A%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%0A%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%9B%9E%E6%BA%AF%E7%AE%97%E6%B3%95%EF%BC%9A%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E7%8A%B6%E6%80%81%E9%95%BF%E5%BA%A6%E7%AD%89%E4%BA%8E%E5%85%83%E7%B4%A0%E6%95%B0%E9%87%8F%E6%97%B6%EF%BC%8C%E8%AE%B0%E5%BD%95%E8%A7%A3%0A%20%20%20%20if%20len%28state%29%20%3D%3D%20len%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res.append%28list%28state%29%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%8D%E5%8E%86%E6%89%80%E6%9C%89%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20duplicated%20%3D%20set%5Bint%5D%28%29%0A%20%20%20%20for%20i,%20choice%20in%20enumerate%28choices%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%89%AA%E6%9E%9D%EF%BC%9A%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E5%85%83%E7%B4%A0%20%E4%B8%94%20%E4%B8%8D%E5%85%81%E8%AE%B8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E9%80%89%E6%8B%A9%E7%9B%B8%E7%AD%89%E5%85%83%E7%B4%A0%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20not%20selected%5Bi%5D%20and%20choice%20not%20in%20duplicated%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%9D%E8%AF%95%EF%BC%9A%E5%81%9A%E5%87%BA%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%9B%B4%E6%96%B0%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20duplicated.add%28choice%29%20%20%23%20%E8%AE%B0%E5%BD%95%E9%80%89%E6%8B%A9%E8%BF%87%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20True%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.append%28choice%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E4%B8%8B%E4%B8%80%E8%BD%AE%E9%80%89%E6%8B%A9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20backtrack%28state,%20choices,%20selected,%20res%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%9B%9E%E9%80%80%EF%BC%9A%E6%92%A4%E9%94%80%E9%80%89%E6%8B%A9%EF%BC%8C%E6%81%A2%E5%A4%8D%E5%88%B0%E4%B9%8B%E5%89%8D%E7%9A%84%E7%8A%B6%E6%80%81%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20selected%5Bi%5D%20%3D%20False%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20state.pop%28%29%0A%0A%0Adef%20permutations_ii%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%20-%3E%20list%5Blist%5Bint%5D%5D%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%85%A8%E6%8E%92%E5%88%97%20II%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20backtrack%28state%3D%5B%5D,%20choices%3Dnums,%20selected%3D%5BFalse%5D%20*%20len%28nums%29,%20res%3Dres%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%202,%202%5D%0A%0A%20%20%20%20res%20%3D%20permutations_ii%28nums%29%0A%0A%20%20%20%20print%28f%22%E8%BE%93%E5%85%A5%E6%95%B0%E7%BB%84%20nums%20%3D%20%7Bnums%7D%22%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E6%89%80%E6%9C%89%E6%8E%92%E5%88%97%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=13&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>
假设元素两两之间互不相同,则 n
个元素共有 n!
种排列(阶乘);在记录结果时,需要复制长度为 n
的列表,使用 O(n)
时间。因此时间复杂度为 O(n!n)
。
最大递归深度为 n
,使用 O(n)
栈帧空间。selected
使用 O(n)
空间。同一时刻最多共有 n
个 duplicated
,使用 O(n^2)
空间。因此空间复杂度为 O(n^2)
。
3. 两种剪枝对比
请注意,虽然 selected
和 duplicated
都用于剪枝,但两者的目标不同。
- 重复选择剪枝:整个搜索过程中只有一个
selected
。它记录的是当前状态中包含哪些元素,其作用是避免某个元素在state
中重复出现。 - 相等元素剪枝:每轮选择(每个调用的
backtrack
函数)都包含一个duplicated
。它记录的是在本轮遍历(for
循环)中哪些元素已被选择过,其作用是保证相等元素只被选择一次。
图 13-9 展示了两个剪枝条件的生效范围。注意,树中的每个节点代表一个选择,从根节点到叶节点的路径上的各个节点构成一个排列。
图 13-9 两种剪枝条件的作用范围