|
|
---
|
|
|
comments: true
|
|
|
---
|
|
|
|
|
|
# 8.2 建堆積操作
|
|
|
|
|
|
在某些情況下，我們希望使用一個串列的所有元素來構建一個堆積，這個過程被稱為“建堆積操作”。
|
|
|
|
|
|
## 8.2.1 藉助入堆積操作實現
|
|
|
|
|
|
我們首先建立一個空堆積，然後走訪串列，依次對每個元素執行“入堆積操作”，即先將元素新增至堆積的尾部，再對該元素執行“從底至頂”堆積化。
|
|
|
|
|
|
每當一個元素入堆積，堆積的長度就加一。由於節點是從頂到底依次被新增進二元樹的，因此堆積是“自上而下”構建的。
|
|
|
|
|
|
設元素數量為 $n$ ，每個元素的入堆積操作使用 $O(\log{n})$ 時間，因此該建堆積方法的時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。
|
|
|
|
|
|
## 8.2.2 透過走訪堆積化實現
|
|
|
|
|
|
實際上，我們可以實現一種更為高效的建堆積方法，共分為兩步。
|
|
|
|
|
|
1. 將串列所有元素原封不動地新增到堆積中，此時堆積的性質尚未得到滿足。
|
|
|
2. 倒序走訪堆積（層序走訪的倒序），依次對每個非葉節點執行“從頂至底堆積化”。
|
|
|
|
|
|
**每當堆積化一個節點後，以該節點為根節點的子樹就形成一個合法的子堆積**。而由於是倒序走訪，因此堆積是“自下而上”構建的。
|
|
|
|
|
|
之所以選擇倒序走訪，是因為這樣能夠保證當前節點之下的子樹已經是合法的子堆積，這樣堆積化當前節點才是有效的。
|
|
|
|
|
|
值得說明的是，**由於葉節點沒有子節點，因此它們天然就是合法的子堆積，無須堆積化**。如以下程式碼所示，最後一個非葉節點是最後一個節點的父節點，我們從它開始倒序走訪並執行堆積化：
|
|
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
```python title="my_heap.py"
|
|
|
def __init__(self, nums: list[int]):
|
|
|
"""建構子，根據輸入串列建堆積"""
|
|
|
# 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
self.max_heap = nums
|
|
|
# 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
|
|
|
self.sift_down(i)
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C++"
|
|
|
|
|
|
```cpp title="my_heap.cpp"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
MaxHeap(vector<int> nums) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
maxHeap = nums;
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
siftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
```java title="my_heap.java"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
MaxHeap(List<Integer> nums) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
siftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C#"
|
|
|
|
|
|
```csharp title="my_heap.cs"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
MaxHeap(IEnumerable<int> nums) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
maxHeap = new List<int>(nums);
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
var size = Parent(this.Size() - 1);
|
|
|
for (int i = size; i >= 0; i--) {
|
|
|
SiftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
|
|
|
|
|
```go title="my_heap.go"
|
|
|
/* 建構子，根據切片建堆積 */
|
|
|
func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
h := &maxHeap{data: nums}
|
|
|
for i := h.parent(len(h.data) - 1); i >= 0; i-- {
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
h.siftDown(i)
|
|
|
}
|
|
|
return h
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
|
```swift title="my_heap.swift"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
init(nums: [Int]) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
maxHeap = nums
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for i in (0 ... parent(i: size() - 1)).reversed() {
|
|
|
siftDown(i: i)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
```javascript title="my_heap.js"
|
|
|
/* 建構子，建立空堆積或根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
constructor(nums) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
this.#siftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
```typescript title="my_heap.ts"
|
|
|
/* 建構子，建立空堆積或根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
constructor(nums?: number[]) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
this.siftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
```dart title="my_heap.dart"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
MaxHeap(List<int> nums) {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
_maxHeap = nums;
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (int i = _parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
siftDown(i);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
```rust title="my_heap.rs"
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
fn new(nums: Vec<i32>) -> Self {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
let mut heap = MaxHeap { max_heap: nums };
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for i in (0..=Self::parent(heap.size() - 1)).rev() {
|
|
|
heap.sift_down(i);
|
|
|
}
|
|
|
heap
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
```c title="my_heap.c"
|
|
|
/* 建構子，根據切片建堆積 */
|
|
|
MaxHeap *newMaxHeap(int nums[], int size) {
|
|
|
// 所有元素入堆積
|
|
|
MaxHeap *maxHeap = (MaxHeap *)malloc(sizeof(MaxHeap));
|
|
|
maxHeap->size = size;
|
|
|
memcpy(maxHeap->data, nums, size * sizeof(int));
|
|
|
for (int i = parent(maxHeap, size - 1); i >= 0; i--) {
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
siftDown(maxHeap, i);
|
|
|
}
|
|
|
return maxHeap;
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Kotlin"
|
|
|
|
|
|
```kotlin title="my_heap.kt"
|
|
|
/* 大頂堆積 */
|
|
|
class MaxHeap(nums: MutableList<Int>?) {
|
|
|
// 使用串列而非陣列，這樣無須考慮擴容問題
|
|
|
private val maxHeap = mutableListOf<Int>()
|
|
|
|
|
|
/* 建構子，根據輸入串列建堆積 */
|
|
|
init {
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
maxHeap.addAll(nums!!)
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
for (i in parent(size() - 1) downTo 0) {
|
|
|
siftDown(i)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 獲取左子節點的索引 */
|
|
|
private fun left(i: Int): Int {
|
|
|
return 2 * i + 1
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 獲取右子節點的索引 */
|
|
|
private fun right(i: Int): Int {
|
|
|
return 2 * i + 2
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 獲取父節點的索引 */
|
|
|
private fun parent(i: Int): Int {
|
|
|
return (i - 1) / 2 // 向下整除
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 交換元素 */
|
|
|
private fun swap(i: Int, j: Int) {
|
|
|
val temp = maxHeap[i]
|
|
|
maxHeap[i] = maxHeap[j]
|
|
|
maxHeap[j] = temp
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 獲取堆積大小 */
|
|
|
fun size(): Int {
|
|
|
return maxHeap.size
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 判斷堆積是否為空 */
|
|
|
fun isEmpty(): Boolean {
|
|
|
/* 判斷堆積是否為空 */
|
|
|
return size() == 0
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 訪問堆積頂元素 */
|
|
|
fun peek(): Int {
|
|
|
return maxHeap[0]
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 元素入堆積 */
|
|
|
fun push(_val: Int) {
|
|
|
// 新增節點
|
|
|
maxHeap.add(_val)
|
|
|
// 從底至頂堆積化
|
|
|
siftUp(size() - 1)
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 從節點 i 開始，從底至頂堆積化 */
|
|
|
private fun siftUp(it: Int) {
|
|
|
// Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
|
|
|
var i = it
|
|
|
while (true) {
|
|
|
// 獲取節點 i 的父節點
|
|
|
val p = parent(i)
|
|
|
// 當“越過根節點”或“節點無須修復”時，結束堆積化
|
|
|
if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[p]) break
|
|
|
// 交換兩節點
|
|
|
swap(i, p)
|
|
|
// 迴圈向上堆積化
|
|
|
i = p
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 元素出堆積 */
|
|
|
fun pop(): Int {
|
|
|
// 判空處理
|
|
|
if (isEmpty()) throw IndexOutOfBoundsException()
|
|
|
// 交換根節點與最右葉節點（交換首元素與尾元素）
|
|
|
swap(0, size() - 1)
|
|
|
// 刪除節點
|
|
|
val _val = maxHeap.removeAt(size() - 1)
|
|
|
// 從頂至底堆積化
|
|
|
siftDown(0)
|
|
|
// 返回堆積頂元素
|
|
|
return _val
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 從節點 i 開始，從頂至底堆積化 */
|
|
|
private fun siftDown(it: Int) {
|
|
|
// Kotlin的函式參數不可變，因此建立臨時變數
|
|
|
var i = it
|
|
|
while (true) {
|
|
|
// 判斷節點 i, l, r 中值最大的節點，記為 ma
|
|
|
val l = left(i)
|
|
|
val r = right(i)
|
|
|
var ma = i
|
|
|
if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma]) ma = l
|
|
|
if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma]) ma = r
|
|
|
// 若節點 i 最大或索引 l, r 越界，則無須繼續堆積化，跳出
|
|
|
if (ma == i) break
|
|
|
// 交換兩節點
|
|
|
swap(i, ma)
|
|
|
// 迴圈向下堆積化
|
|
|
i = ma
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
/* 列印堆積（二元樹） */
|
|
|
fun print() {
|
|
|
val queue = PriorityQueue { a: Int, b: Int -> b - a }
|
|
|
queue.addAll(maxHeap)
|
|
|
printHeap(queue)
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Ruby"
|
|
|
|
|
|
```ruby title="my_heap.rb"
|
|
|
[class]{MaxHeap}-[func]{__init__}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
```zig title="my_heap.zig"
|
|
|
// 建構子，根據輸入串列建堆積
|
|
|
fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
|
|
|
if (self.max_heap != null) return;
|
|
|
self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
|
|
|
// 將串列元素原封不動新增進堆積
|
|
|
try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
|
|
|
// 堆積化除葉節點以外的其他所有節點
|
|
|
var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
|
|
|
while (i > 0) : (i -= 1) {
|
|
|
try self.siftDown(i - 1);
|
|
|
}
|
|
|
}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
??? pythontutor "視覺化執行"
|
|
|
|
|
|
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%EF%BC%8C%E6%A0%B9%E6%93%9A%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%E9%99%A4%E8%91%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%BB%A5%E5%A4%96%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%89%80%E6%9C%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%2C%20l%2C%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%8C%E8%A8%98%E7%82%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%2C%20r%2C%20ma%20%3D%20self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l%2C%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%84%A1%E9%A0%88%E7%B9%BC%E7%BA%8C%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
|
|
|
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20MaxHeap%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%2C%20nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BB%BA%E6%A7%8B%E5%AD%90%EF%BC%8C%E6%A0%B9%E6%93%9A%E8%BC%B8%E5%85%A5%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%BB%BA%E5%A0%86%E7%A9%8D%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%B0%87%E4%B8%B2%E5%88%97%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%8E%9F%E5%B0%81%E4%B8%8D%E5%8B%95%E6%96%B0%E5%A2%9E%E9%80%B2%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%20%3D%20nums%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%E9%99%A4%E8%91%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%E4%BB%A5%E5%A4%96%E7%9A%84%E5%85%B6%E4%BB%96%E6%89%80%E6%9C%89%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28self.parent%28self.size%28%29%20-%201%29%2C%20-1%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.sift_down%28i%29%0A%0A%20%20%20%20def%20left%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%B7%A6%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%201%0A%0A%20%20%20%20def%20right%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%8F%B3%E5%AD%90%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%202%20%2A%20i%20%2B%202%0A%0A%20%20%20%20def%20parent%28self%2C%20i%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E7%88%B6%E7%AF%80%E9%BB%9E%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20%28i%20-%201%29%20//%202%20%20%23%20%E5%90%91%E4%B8%8B%E6%95%B4%E9%99%A4%0A%0A%20%20%20%20def%20swap%28self%2C%20i%3A%20int%2C%20j%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%83%E7%B4%A0%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.max_heap%5Bi%5D%2C%20self.max_heap%5Bj%5D%20%3D%20self.max_heap%5Bj%5D%2C%20self.max_heap%5Bi%5D%0A%0A%20%20%20%20def%20size%28self%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E7%8D%B2%E5%8F%96%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%A4%A7%E5%B0%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20len%28self.max_heap%29%0A%0A%20%20%20%20def%20sift_down%28self%2C%20i%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%BE%9E%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E9%96%8B%E5%A7%8B%EF%BC%8C%E5%BE%9E%E9%A0%82%E8%87%B3%E5%BA%95%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20True%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A4%E6%96%B7%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%2C%20l%2C%20r%20%E4%B8%AD%E5%80%BC%E6%9C%80%E5%A4%A7%E7%9A%84%E7%AF%80%E9%BB%9E%EF%BC%8C%E8%A8%98%E7%82%BA%20ma%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20l%2C%20r%2C%20ma%20%3D%20self.left%28i%29%2C%20self.right%28i%29%2C%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20l%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Bl%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20l%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20r%20%3C%20self.size%28%29%20and%20self.max_heap%5Br%5D%20%3E%20self.max_heap%5Bma%5D%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20ma%20%3D%20r%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E7%AF%80%E9%BB%9E%20i%20%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%88%96%E7%B4%A2%E5%BC%95%20l%2C%20r%20%E8%B6%8A%E7%95%8C%EF%BC%8C%E5%89%87%E7%84%A1%E9%A0%88%E7%B9%BC%E7%BA%8C%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20ma%20%3D%3D%20i%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E4%BA%A4%E6%8F%9B%E5%85%A9%E7%AF%80%E9%BB%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self.swap%28i%2C%20ma%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E5%90%91%E4%B8%8B%E5%A0%86%E7%A9%8D%E5%8C%96%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20ma%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%A4%A7%E9%A0%82%E5%A0%86%E7%A9%8D%0A%20%20%20%20max_heap%20%3D%20MaxHeap%28%5B1%2C%202%2C%203%2C%204%2C%205%5D%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
|
|
|
|
|
|
## 8.2.3 複雜度分析
|
|
|
|
|
|
下面，我們來嘗試推算第二種建堆積方法的時間複雜度。
|
|
|
|
|
|
- 假設完全二元樹的節點數量為 $n$ ，則葉節點數量為 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 為向下整除。因此需要堆積化的節點數量為 $(n - 1) / 2$ 。
|
|
|
- 在從頂至底堆積化的過程中，每個節點最多堆積化到葉節點，因此最大迭代次數為二元樹高度 $\log n$ 。
|
|
|
|
|
|
將上述兩者相乘，可得到建堆積過程的時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。**但這個估算結果並不準確，因為我們沒有考慮到二元樹底層節點數量遠多於頂層節點的性質**。
|
|
|
|
|
|
接下來我們來進行更為準確的計算。為了降低計算難度，假設給定一個節點數量為 $n$ 、高度為 $h$ 的“完美二元樹”，該假設不會影響計算結果的正確性。
|
|
|
|
|
|
{ class="animation-figure" }
|
|
|
|
|
|
<p align="center"> 圖 8-5 完美二元樹的各層節點數量 </p>
|
|
|
|
|
|
如圖 8-5 所示，節點“從頂至底堆積化”的最大迭代次數等於該節點到葉節點的距離，而該距離正是“節點高度”。因此，我們可以對各層的“節點數量 $\times$ 節點高度”求和，**得到所有節點的堆積化迭代次數的總和**。
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{(h-1)}\times1
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
化簡上式需要藉助中學的數列知識，先將 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
\begin{aligned}
|
|
|
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \dots + 2^{h-1}\times1 \newline
|
|
|
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \dots + 2^{h}\times1 \newline
|
|
|
\end{aligned}
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
使用錯位相減法，用下式 $2 T(h)$ 減去上式 $T(h)$ ，可得：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{h-1} + 2^h
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
觀察上式，發現 $T(h)$ 是一個等比數列，可直接使用求和公式，得到時間複雜度為：
|
|
|
|
|
|
$$
|
|
|
\begin{aligned}
|
|
|
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
|
|
|
& = 2^{h+1} - h - 2 \newline
|
|
|
& = O(2^h)
|
|
|
\end{aligned}
|
|
|
$$
|
|
|
|
|
|
進一步，高度為 $h$ 的完美二元樹的節點數量為 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得複雜度為 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**輸入串列並建堆積的時間複雜度為 $O(n)$ ，非常高效**。
|
