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11.8.   基数排序

上节介绍的计数排序适用于数据量 n 大但数据范围 m 不大的情况。假设需要排序 n = 10^6 个学号数据,学号是 8 位数字,那么数据范围 m = 10^8 很大,使用计数排序则需要开辟巨大的内存空间,而基数排序则可以避免这种情况。

「基数排序 Radix Sort」主体思路与计数排序一致也通过统计出现次数实现排序并在此基础上利用位与位之间的递进关系,依次对每一位执行排序,从而获得排序结果。

11.8.1.   算法流程

以上述的学号数据为例,设数字最低位为第 1 位、最高位为第 8 位,基数排序的流程为:

  1. 初始化位数 k = 1
  2. 对学号的第 k 位执行「计数排序」,完成后,数据即按照第 k 位从小到大排序;
  3. k 自增 1 ,并返回第 2. 步继续迭代,直至排序完所有位后结束;

基数排序算法流程

Fig. 基数排序算法流程

下面来剖析代码实现。对于一个 d 进制的数字 x ,其第 kx_k 的计算公式为


x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \mod d

其中 \lfloor a \rfloor 代表对浮点数 a 执行向下取整,\mod d 代表对 d 取余。学号数据的 d = 10 , k \in [1, 8]

此外,我们需要小幅改动计数排序代码,使之可以根据数字第 k 位执行排序。

=== "Java"

```java title="radix_sort.java"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    int[] counter = new int[10];
    int n = nums.length;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {
    // 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    int m = Integer.MIN_VALUE;
    for (int num : nums)
        if (num > m) m = num;
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}
```

=== "C++"

```cpp title="radix_sort.cpp"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10;
}

/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
void countingSortDigit(vector<int>& nums, int exp) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    vector<int> counter(10, 0);
    int n = nums.size();
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    for (int i = 1; i < 10; i++) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    vector<int> res(n, 0);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int d = digit(nums[i], exp);
        int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--;           // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++)
        nums[i] = res[i];
}

/* 基数排序 */
void radixSort(vector<int>& nums) {
    // 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    int m = *max_element(nums.begin(), nums.end());
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10)
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp);
}
```

=== "Python"

```python title="radix_sort.py"
def digit(num: int, exp: int) -> int:
    """ 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) """
    # 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num // exp) % 10

def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int) -> None:
    """ 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) """
    # 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    counter = [0] * 10
    n = len(nums)
    # 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in range(n):
        d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d] += 1          # 统计数字 d 的出现次数
    # 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in range(1, 10):
        counter[i] += counter[i - 1]
    # 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        d = digit(nums[i], exp)
        j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    # 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1     # 将 d 的数量减 1
    # 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]

def radix_sort(nums: list[int]) -> None:
    """ 基数排序 """
    # 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    m = max(nums)
    # 按照从低位到高位的顺序遍历
    exp = 1
    while exp <= m:
        # 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        # k = 1 -> exp = 1
        # k = 2 -> exp = 10
        # 即 exp = 10^(k-1)
        counting_sort_digit(nums, exp)
        exp *= 10
```

=== "Go"

```go title="radix_sort.go"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num, exp int) int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return (num / exp) % 10
}

/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
func countingSortDigit(nums []int, exp int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    counter := make([]int, 10)
    n := len(nums)
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i := 0; i < n; i++ {
        d := digit(nums[i], exp) // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d]++             // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i := 1; i < 10; i++ {
        counter[i] += counter[i-1]
    }
    // 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        d := digit(nums[i], exp)
        j := counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i]    // 将当前元素填入索引 j
        counter[d]--        // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums []int) {
    // 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    max := math.MinInt
    for _, num := range nums {
        if num > max {
            max = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp := 1; max >= exp; exp *= 10 {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums, exp)
    }
}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="radix_sort.js"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="radix_sort.ts"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C"

```c title="radix_sort.c"
[class]{}-[func]{digit}

[class]{}-[func]{countingSortDigit}

[class]{}-[func]{radixSort}
```

=== "C#"

```csharp title="radix_sort.cs"
[class]{radix_sort}-[func]{digit}

[class]{radix_sort}-[func]{countingSortDigit}

[class]{radix_sort}-[func]{radixSort}
```

=== "Swift"

```swift title="radix_sort.swift"
/* 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1) */
func digit(num: Int, exp: Int) -> Int {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    (num / exp) % 10
}

/* 计数排序(根据 nums 第 k 位排序) */
func countingSortDigit(nums: inout [Int], exp: Int) {
    // 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    var counter = Array(repeating: 0, count: 10)
    let n = nums.count
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for i in nums.indices {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp) // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d] += 1 // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    for i in 1 ..< 10 {
        counter[i] += counter[i - 1]
    }
    // 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    var res = Array(repeating: 0, count: n)
    for i in stride(from: n - 1, through: 0, by: -1) {
        let d = digit(num: nums[i], exp: exp)
        let j = counter[d] - 1 // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i] // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1 // 将 d 的数量减 1
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    for i in nums.indices {
        nums[i] = res[i]
    }
}

/* 基数排序 */
func radixSort(nums: inout [Int]) {
    // 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    var m = Int.min
    for num in nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    for exp in sequence(first: 1, next: { m >= ($0 * 10) ? $0 * 10 : nil }) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        countingSortDigit(nums: &nums, exp: exp)
    }
}
```

=== "Zig"

```zig title="radix_sort.zig"
// 获取元素 num 的第 k 位,其中 exp = 10^(k-1)
fn digit(num: i32, exp: i32) i32 {
    // 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算
    return @mod(@divFloor(num, exp), 10);
}

// 计数排序(根据 nums 第 k 位排序)
fn countingSortDigit(nums: []i32, exp: i32) !void {
    // 十进制的位范围为 0~9 ,因此需要长度为 10 的桶
    var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
    // defer mem_arena.deinit();
    const mem_allocator = mem_arena.allocator();
    var counter = try mem_allocator.alloc(usize, 10);
    std.mem.set(usize, counter, 0);
    var n = nums.len;
    // 统计 0~9 各数字的出现次数
    for (nums) |num| {
        var d = @bitCast(u32, digit(num, exp)); // 获取 nums[i] 第 k 位,记为 d
        counter[d] += 1; // 统计数字 d 的出现次数
    }
    // 求前缀和,将“出现个数”转换为“数组索引”
    var i: usize = 1;
    while (i < 10) : (i += 1) {
        counter[i] += counter[i - 1];
    }
    // 倒序遍历,根据桶内统计结果,将各元素填入 res
    var res = try mem_allocator.alloc(i32, n);
    i = n - 1;
    while (i >= 0) : (i -= 1) {
        var d = @bitCast(u32, digit(nums[i], exp));
        var j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 j
        res[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 j
        counter[d] -= 1;        // 将 d 的数量减 1
        if (i == 0) break;
    }
    // 使用结果覆盖原数组 nums
    i = 0;
    while (i < n) : (i += 1) {
        nums[i] = res[i];
    }
}

// 基数排序
fn radixSort(nums: []i32) !void {
    // 获取数组的最大元素,用于判断最大位数
    var m: i32 = std.math.minInt(i32);
    for (nums) |num| {
        if (num > m) m = num;
    }
    // 按照从低位到高位的顺序遍历
    var exp: i32 = 1;
    while (exp <= m) : (exp *= 10) {
        // 对数组元素的第 k 位执行计数排序
        // k = 1 -> exp = 1
        // k = 2 -> exp = 10
        // 即 exp = 10^(k-1)
        try countingSortDigit(nums, exp);    
    }
} 
```

!!! question "为什么从最低位开始排序?"

对于先后两轮排序,第二轮排序可能会覆盖第一轮排序的结果,比如第一轮认为 $a < b$ ,而第二轮认为 $a > b$ ,则第二轮会取代第一轮的结果。由于数字高位比低位的优先级更高,所以要先排序低位再排序高位。

11.8.2.   算法特性

时间复杂度 O(n k) :设数据量为 n 、数据为 d 进制、最大为 k 位,则对某一位执行计数排序使用 O(n + d) 时间,排序 k 位使用 O((n + d)k) 时间;一般情况下 dk 都比较小,此时时间复杂度近似为 O(n)

空间复杂度 O(n + d) :与计数排序一样,借助了长度分别为 n , d 的数组 rescounter ,因此是“非原地排序”。

与计数排序一致,基数排序也是稳定排序。相比于计数排序,基数排序可适用于数值范围较大的情况,但前提是数据必须可以被表示为固定位数的格式,且位数不能太大。比如浮点数就不适合使用基数排序,因为其位数 k 太大,可能时间复杂度 O(nk) \gg O(n^2)