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二分查找

「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。

!!! question

给定一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列，数组不包含重复元素。请查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组不包含该元素，则返回 $-1$ 。

对于上述问题，我们先初始化指针 i = 0 和 j = n - 1 ，分别指向数组首元素和尾元素，代表搜索区间 [0, n - 1] 。其中，中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身。

接下来，循环执行以下两个步骤：

计算中点索引 m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor ，其中 \lfloor \space \rfloor 表示向下取整操作。
判断 nums[m] 和 target 的大小关系，分为三种情况：
1. 当 nums[m] < target 时，说明 target 在区间 [m + 1, j] 中，因此执行 i = m + 1 。
2. 当 nums[m] > target 时，说明 target 在区间 [i, m - 1] 中，因此执行 j = m - 1 。
3. 当 nums[m] = target 时，说明找到 target ，因此返回索引 m 。

若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空。此时返回 -1 。

=== "<0>"

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

值得注意的是，由于 i 和 j 都是 int 类型，因此 i + j 可能会超出 int 类型的取值范围。为了避免大数越界，我们通常采用公式 m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor 来计算中点。

=== "Java"

```java title="binary_search.java"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
```

=== "C++"

```cpp title="binary_search.cpp"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Python"

```python title="binary_search.py"
[class]{}-[func]{binary_search}
```

=== "Go"

```go title="binary_search.go"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "JS"

```javascript title="binary_search.js"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "TS"

```typescript title="binary_search.ts"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "C"

```c title="binary_search.c"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "C#"

```csharp title="binary_search.cs"
[class]{binary_search}-[func]{binarySearch}
```

=== "Swift"

```swift title="binary_search.swift"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Zig"

```zig title="binary_search.zig"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Dart"

```dart title="binary_search.dart"
[class]{}-[func]{binarySearch}
```

=== "Rust"

```rust title="binary_search.rs"
[class]{}-[func]{binary_search}
```

时间复杂度为 O(\log n) 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 \log_2 n 。

空间复杂度为 O(1) 。指针 i , j 使用常数大小空间。

区间表示方法

除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 [0, n) ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 [i, j] 在 i = j 时为空。

我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。