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桶排序

前述的几种排序算法都属于“基于比较的排序算法”，它们通过比较元素间的大小来实现排序。此类排序算法的时间复杂度无法超越 O(n \log n) 。接下来，我们将探讨几种“非比较排序算法”，它们的时间复杂度可以达到线性阶。

「桶排序 bucket sort」是分治策略的一个典型应用。它通过设置一些具有大小顺序的桶，每个桶对应一个数据范围，将数据平均分配到各个桶中；然后，在每个桶内部分别执行排序；最终按照桶的顺序将所有数据合并。

算法流程

考虑一个长度为 n 的数组，元素是范围 [0, 1) 的浮点数。桶排序的流程如下图所示。

1. 初始化 k 个桶，将 n 个元素分配到 k 个桶中。
2. 对每个桶分别执行排序（本文采用编程语言的内置排序函数）。
3. 按照桶的从小到大的顺序，合并结果。

=== "Python"

```python title="bucket_sort.py"
[class]{}-[func]{bucket_sort}
```

=== "C++"

```cpp title="bucket_sort.cpp"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "Java"

```java title="bucket_sort.java"
[class]{bucket_sort}-[func]{bucketSort}
```

=== "C#"

```csharp title="bucket_sort.cs"
[class]{bucket_sort}-[func]{bucketSort}
```

=== "Go"

```go title="bucket_sort.go"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "Swift"

```swift title="bucket_sort.swift"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "JS"

```javascript title="bucket_sort.js"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "TS"

```typescript title="bucket_sort.ts"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "Dart"

```dart title="bucket_sort.dart"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "Rust"

```rust title="bucket_sort.rs"
[class]{}-[func]{bucket_sort}
```

=== "C"

```c title="bucket_sort.c"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

=== "Zig"

```zig title="bucket_sort.zig"
[class]{}-[func]{bucketSort}
```

算法特性

桶排序适用于处理体量很大的数据。例如，输入数据包含 100 万个元素，由于空间限制，系统内存无法一次性加载所有数据。此时，可以将数据分成 1000 个桶，然后分别对每个桶进行排序，最后将结果合并。

• 时间复杂度 O(n + k) ：假设元素在各个桶内平均分布，那么每个桶内的元素数量为 \frac{n}{k} 。假设排序单个桶使用 O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k}) 时间，则排序所有桶使用 O(n \log\frac{n}{k}) 时间。当桶数量 k 比较大时，时间复杂度则趋向于 O(n) 。合并结果时需要遍历所有桶和元素，花费 O(n + k) 时间。
• 自适应排序：在最坏情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序该桶使用 O(n^2) 时间。
• 空间复杂度 O(n + k)、非原地排序：需要借助 k 个桶和总共 n 个元素的额外空间。
• 桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。

如何实现平均分配

桶排序的时间复杂度理论上可以达到 O(n) ，关键在于将元素均匀分配到各个桶中，因为实际数据往往不是均匀分布的。例如，我们想要将淘宝上的所有商品按价格范围平均分配到 10 个桶中，但商品价格分布不均，低于 100 元的非常多，高于 1000 元的非常少。若将价格区间平均划分为 10 份，各个桶中的商品数量差距会非常大。

为实现平均分配，我们可以先设定一个大致的分界线，将数据粗略地分到 3 个桶中。分配完毕后，再将商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶中的元素数量大致相等。

如下图所示，这种方法本质上是创建一个递归树，目标是让叶节点的值尽可能平均。当然，不一定要每轮将数据划分为 3 个桶，具体划分方式可根据数据特点灵活选择。

如果我们提前知道商品价格的概率分布，则可以根据数据概率分布设置每个桶的价格分界线。值得注意的是，数据分布并不一定需要特意统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型进行近似。

如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，这样就可以合理地设定价格区间，从而将商品平均分配到各个桶中。