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Raw Blame History

N 皇后问题

!!! question

根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。

如下图所示，当 n = 4 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，n \times n 大小的棋盘共有 n^2 个格子，给出了所有的选择 choices 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 state 。

本题共有三个约束条件：多个皇后不能在同一行、同一列和同一对角线。值得注意的是，对角线分为主对角线 \ 和副对角线 / 两种。

皇后放置策略

皇后的数量和棋盘的行数都为 n ，因此我们容易得到第一个推论：棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。此策略起到了剪枝的作用，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。

下图展示了 4 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。

列与对角线剪枝

为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 n 的布尔型数组 cols 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 cols 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 cols 的状态。

那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 (row, col) ，观察矩阵的某条主对角线，我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等，即 row - col 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 row1 - col1 == row2 - col2 ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。

利用该性质，我们可以借助一个数组 diag1 来记录每条主对角线上是否有皇后。注意，n 维方阵 row - col 的范围是 [-n + 1, n - 1] ，因此共有 2n - 1 条主对角线。

同理，次对角线上的所有格子的 row + col 是恒定值。我们可以使用同样的方法，借助数组 diag2 来处理次对角线约束。

代码实现

根据以上分析，我们便可以写出 n 皇后的解题代码。

=== "Java"

```java title="n_queens.java"
[class]{n_queens}-[func]{backtrack}

[class]{n_queens}-[func]{nQueens}
```

=== "C++"

```cpp title="n_queens.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "Python"

```python title="n_queens.py"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{n_queens}
```

=== "Go"

```go title="n_queens.go"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="n_queens.js"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="n_queens.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "C"

```c title="n_queens.c"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "C#"

```csharp title="n_queens.cs"
[class]{n_queens}-[func]{backtrack}

[class]{n_queens}-[func]{nQueens}
```

=== "Swift"

```swift title="n_queens.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "Zig"

```zig title="n_queens.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

=== "Dart"

```dart title="n_queens.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{nQueens}
```

复杂度分析

逐行放置 n 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 n, n-1, \cdots, 2, 1 个选择，因此时间复杂度为 O(n!) 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。

state 使用 O(n^2) 空间，cols , diags1 , diags2 皆使用 O(n) 空间。最大递归深度为 n ，使用 O(n) 栈帧空间。因此，空间复杂度为 O(n^2) 。

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