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comments: true
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# 8.2. 建堆操作 *
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如果我们想要根据输入列表生成一个堆，这个过程被称为「建堆」。
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## 8.2.1. 两种建堆方法
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### 借助入堆方法实现
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最直接的方法是借助“元素入堆操作”实现，首先创建一个空堆，然后将列表元素依次添加到堆中。
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设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ 。在依次添加元素时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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### 基于堆化操作实现
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有趣的是，存在一种更高效的建堆方法，其时间复杂度仅为 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加到堆中，**然后迭代地对各个结点执行“从顶至底堆化”**。当然，**我们不需要对叶结点执行堆化操作**，因为它们没有子结点。
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=== "Java"
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```java title="my_heap.java"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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MaxHeap(List<Integer> nums) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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maxHeap = new ArrayList<>(nums);
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="my_heap.cpp"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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MaxHeap(vector<int> nums) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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maxHeap = nums;
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "Python"
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```python title="my_heap.py"
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def __init__(self, nums: list[int]):
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""" 构造方法 """
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# 将列表元素原封不动添加进堆
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self.max_heap = nums
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# 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for i in range(self.parent(self.size() - 1), -1, -1):
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self.sift_down(i)
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```
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=== "Go"
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```go title="my_heap.go"
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/* 构造方法，根据切片建堆 */
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func newMaxHeap(nums []any) *maxHeap {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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h := &maxHeap{data: nums}
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for i := len(h.data) - 1; i >= 0; i-- {
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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h.siftDown(i)
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}
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return h
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}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="my_heap.js"
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/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
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constructor(nums) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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this.#maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for (let i = this.#parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
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this.#siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="my_heap.ts"
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/* 构造方法，建立空堆或根据输入列表建堆 */
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constructor(nums?: number[]) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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|
this.maxHeap = nums === undefined ? [] : [...nums];
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for (let i = this.parent(this.size() - 1); i >= 0; i--) {
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this.siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "C"
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```c title="my_heap.c"
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[class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap}
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```
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=== "C#"
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```csharp title="my_heap.cs"
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/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
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MaxHeap(IEnumerable<int> nums)
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{
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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|
maxHeap = new List<int>(nums);
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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var size = parent(this.size() - 1);
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for (int i = size; i >= 0; i--)
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{
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siftDown(i);
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}
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}
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```
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=== "Swift"
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```swift title="my_heap.swift"
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/* 构造方法，根据输入列表建堆 */
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init(nums: [Int]) {
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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|
maxHeap = nums
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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for i in stride(from: parent(i: size() - 1), through: 0, by: -1) {
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siftDown(i: i)
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}
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}
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```
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=== "Zig"
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```zig title="my_heap.zig"
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// 构造方法，根据输入列表建堆
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fn init(self: *Self, allocator: std.mem.Allocator, nums: []const T) !void {
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if (self.max_heap != null) return;
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self.max_heap = std.ArrayList(T).init(allocator);
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// 将列表元素原封不动添加进堆
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try self.max_heap.?.appendSlice(nums);
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// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
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var i: usize = parent(self.size() - 1) + 1;
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while (i > 0) : (i -= 1) {
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try self.siftDown(i - 1);
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}
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}
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```
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## 8.2.2. 复杂度分析
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为什么第二种建堆方法的时间复杂度是 $O(n)$ ？我们来展开推算一下。
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- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此，在排除叶结点后，需要堆化的结点数量为 $(n - 1)/2$ ，复杂度为 $O(n)$ ；
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- 在从顶至底堆化的过程中，每个结点最多堆化到叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
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将上述两者相乘，可得到建堆过程的时间复杂度为 $O(n \log n)$。**然而，这个估算结果并不准确，因为我们没有考虑到二叉树底层结点数量远多于顶层结点的特性**。
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接下来我们来进行更为详细的计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个“完美二叉树”，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而该距离正是“结点高度”**。
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<p align="center"> Fig. 完美二叉树的各层结点数量 </p>
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因此，我们可以将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，**从而得到所有结点的堆化迭代次数的总和**。
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$$
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，得到
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$$
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\begin{aligned}
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|
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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|
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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|
\end{aligned}
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$$
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**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
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$$
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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观察上式，发现 $T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
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$$
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\begin{aligned}
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|
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h \newline
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& = O(2^h)
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|
\end{aligned}
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|
$$
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|
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进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$ 。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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