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最大切分乘积问题

!!! question

给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少，如下图所示。

假设我们将 n 切分为 m 个整数因子，其中第 i 个因子记为 n_i ，即

n = \sum_{i=1}^{m}n_i

本题的目标是求得所有整数因子的最大乘积，即

\max(\prod_{i=1}^{m}n_i)

我们需要思考的是：切分数量 m 应该多大，每个 n_i 应该是多少？

贪心策略确定

根据经验，两个整数的乘积往往比它们的加和更大。假设从 n 中分出一个因子 2 ，则它们的乘积为 2(n-2) 。我们将该乘积与 n 作比较：

\begin{aligned}
2(n-2) & \geq n \newline
2n - n - 4 & \geq 0 \newline
n & \geq 4
\end{aligned}

如下图所示，当 n \geq 4 时，切分出一个 2 后乘积会变大，这说明大于等于 4 的整数都应该被切分。

贪心策略一：如果切分方案中包含 \geq 4 的因子，那么它就应该被继续切分。最终的切分方案只应出现 1、2、3 这三种因子。

接下来思考哪个因子是最优的。在 1、2、3 这三个因子中，显然 1 是最差的，因为 1 \times (n-1) < n 恒成立，即切分出 1 反而会导致乘积减小。

如下图所示，当 n = 6 时，有 3 \times 3 > 2 \times 2 \times 2 。这意味着切分出 3 比切分出 2 更优。

贪心策略二：在切分方案中，最多只应存在两个 2 。因为三个 2 总是可以替换为两个 3 ，从而获得更大的乘积。

综上所述，可推理出以下贪心策略。

1. 输入整数 n ，从其不断地切分出因子 3 ，直至余数为 0、1、2 。
2. 当余数为 0 时，代表 n 是 3 的倍数，因此不做任何处理。
3. 当余数为 2 时，不继续划分，保留之。
4. 当余数为 1 时，由于 2 \times 2 > 1 \times 3 ，因此应将最后一个 3 替换为 2 。

代码实现

如下图所示，我们无须通过循环来切分整数，而可以利用向下整除运算得到 3 的个数 a ，用取模运算得到余数 b ，此时有：

n = 3 a + b

请注意，对于 n \leq 3 的边界情况，必须拆分出一个 1 ，乘积为 1 \times (n - 1) 。

[file]{max_product_cutting}-[class]{}-[func]{max_product_cutting}

时间复杂度取决于编程语言的幂运算的实现方法。以 Python 为例，常用的幂计算函数有三种。

• 运算符 ** 和函数 pow() 的时间复杂度均为 O(\log⁡ a) 。
• 函数 math.pow() 内部调用 C 语言库的 pow() 函数，其执行浮点取幂，时间复杂度为 O(1) 。

变量 a 和 b 使用常数大小的额外空间，因此空间复杂度为 O(1) 。

正确性证明

使用反证法，只分析 n \geq 3 的情况。

1. 所有因子 \leq 3 ：假设最优切分方案中存在 \geq 4 的因子 x ，那么一定可以将其继续划分为 2(x-2) ，从而获得更大的乘积。这与假设矛盾。
2. 切分方案不包含 1 ：假设最优切分方案中存在一个因子 1 ，那么它一定可以合并入另外一个因子中，以获得更大的乘积。这与假设矛盾。
3. 切分方案最多包含两个 2 ：假设最优切分方案中包含三个 2 ，那么一定可以替换为两个 3 ，乘积更大。这与假设矛盾。