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Raw Blame History Unescape Escape

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13.4. 0-1 背包问题

背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

在本节中，我们先来学习基础的的 0-1 背包问题。

!!! question

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，请求解在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。

下图给出了一个 0-1 背包的示例数据，背包内的最大价值为 220 。

Fig. 0-1 背包的示例数据

我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 n 轮决策组成的过程，每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题是满足决策树模型的。此外，该问题的目标是求解“在限定背包容量下的最大价值”，因此较大概率是个动态规划问题。我们接下来尝试求解它。

第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 dp 表

在 0-1 背包问题中，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 i 和剩余背包容量 c ，记为 [i, c] 。

状态 [i, c] 对应的子问题为：前 i 个物品在剩余容量为 c 的背包中的最大价值，记为 dp[i, c] 。

至此，我们得到一个尺寸为 n \times cap 的二维 dp 矩阵。

第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程

当我们做出物品 i 的决策后，剩余的是前 i-1 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：

不放入物品 i ：背包容量不变，状态转移至 [i-1, c] ；
放入物品 i ：背包容量减小 wgt[i-1] ，价值增加 val[i-1] ，状态转移至 [i-1, c-wgt[i-1]] ；

上述的状态转移向我们揭示了本题的最优子结构：最大价值 dp[i, c] 等于不放入物品 i 和放入物品 i 两种方案中的价值更大的那一个。由此可推出状态转移方程：


dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])

需要注意的是，若当前物品重量 wgt[i - 1] 超出剩余背包容量 c ，则只能选择不放入背包。

第三步：确定边界条件和状态转移顺序

当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 0 ，即所有 dp[i, 0] 和 dp[0, c] 都等于 0 。

当前状态 [i, c] 从上方的状态 [i-1, c] 和左上方的状态 [i-1, c-wgt[i-1]] 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 dp 表即可。

13.4.1. 方法一：暴力搜索

搜索代码包含以下要素：

递归参数：状态 [i, c] ；返回值：子问题的解 dp[i, c] 。
终止条件：当物品编号越界 i = 0 或背包剩余容量为 0 时，终止递归并返回价值 0 。
剪枝：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能不放入背包。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
def knapsack_dfs(wgt, val, i, c):
    """0-1 背包：暴力搜索"""
    # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
    if i == 0 or c == 0:
        return 0
    # 若超过背包容量，则只能不放入背包
    if wgt[i - 1] > c:
        return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
    # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
    yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    # 返回两种方案中价值更大的那一个
    return max(no, yes)
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此最差时间复杂度为 O(2^n) 。

观察递归树，容易发现其中存在一些「重叠子问题」，例如 dp[1, 10] 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是当相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。

Fig. 0-1 背包的暴力搜索递归树

13.4.2. 方法二：记忆化搜索

为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 mem 来记录子问题的解，其中 mem[i][c] 对应解 dp[i, c] 。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
def knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i, c):
    """0-1 背包：记忆化搜索"""
    # 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0
    if i == 0 or c == 0:
        return 0
    # 若已有记录，则直接返回
    if mem[i][c] != -1:
        return mem[i][c]
    # 若超过背包容量，则只能不放入背包
    if wgt[i - 1] > c:
        return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
    # 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
    no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
    yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
    # 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
    mem[i][c] = max(no, yes)
    return mem[i][c]
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

引入记忆化之后，所有子问题都只被计算一次，因此时间复杂度取决于子问题数量，也就是 O(n \times cap) 。

Fig. 0-1 背包的记忆化搜索递归树

13.4.3. 方法三：动态规划

动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 dp 矩阵的过程，代码如下所示。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
def knapsack_dp(wgt, val, cap):
    """0-1 背包：动态规划"""
    n = len(wgt)
    # 初始化 dp 表
    dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
    # 状态转移
    for i in range(1, n + 1):
        for c in range(1, cap + 1):
            if wgt[i - 1] > c:
                # 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[i][c] = dp[i - 1][c]
            else:
                # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[i][c] = max(dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1][c])
    return dp[n][cap]
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

如下图所示，时间复杂度由 dp 矩阵大小决定，为 O(n \times cap) 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

=== "<13>"

=== "<14>"

最后考虑状态压缩。以上代码中的 dp 矩阵占用 O(n \times cap) 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 O(n^2) 将低至 O(n) 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。

那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 i 行时，该数组存储的仍然是第 i-1 行的状态，为了避免左边区域的格子在状态转移中被覆盖，我们应采取倒序遍历。

以下动画展示了在单个数组下从第 i=1 行转换至第 i=2 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

如以下代码所示，我们仅需将 dp 矩阵的第一维 i 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
def knapsack_dp_comp(wgt, val, cap):
    """0-1 背包：状态压缩后的动态规划"""
    n = len(wgt)
    # 初始化 dp 表
    dp = [0] * (cap + 1)
    # 状态转移
    for i in range(1, n + 1):
        # 倒序遍历
        for c in range(cap, 0, -1):
            if wgt[i - 1] > c:
                # 若超过背包容量，则不选物品 i
                dp[c] = dp[c]
            else:
                # 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
                dp[c] = max(dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1], dp[c])
    return dp[cap]
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

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13.4. 0-1 背包问题

13.4.1. 方法一：暴力搜索

13.4.2. 方法二：记忆化搜索

13.4.3. 方法三：动态规划

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