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0-1 背包问题
背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
在本节中，我们先来学习基础的的 0-1 背包问题。
!!! question
给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，每个物品只能选择一次，问在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。
请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
下图给出了一个 0-1 背包的示例数据，背包内的最大价值为 220 。
我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 n 轮决策组成的过程，每个物体都有不放入和放入两种决策，因此该问题是满足决策树模型的。此外，该问题的目标是求解“在限定背包容量下的最大价值”，因此较大概率是个动态规划问题。我们接下来尝试求解它。
第一步：思考每轮的决策，定义状态，从而得到 dp 表
在 0-1 背包问题中，不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得状态定义：当前物品编号 i 和剩余背包容量 c ，记为 [i, c] 。
状态 [i, c] 对应的子问题为：前 i 个物品在剩余容量为 c 的背包中的最大价值，记为 dp[i, c] 。
需要求解的是 dp[n, cap] ，因此需要一个尺寸为 (n+1) \times (cap+1) 的二维 dp 表。
第二步：找出最优子结构，进而推导出状态转移方程
当我们做出物品 i 的决策后，剩余的是前 i-1 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：
- 不放入物品
i：背包容量不变，状态转移至[i-1, c]； - 放入物品
i：背包容量减小wgt[i-1]，价值增加val[i-1]，状态转移至[i-1, c-wgt[i-1]]；
上述的状态转移向我们揭示了本题的最优子结构：最大价值 dp[i, c] 等于不放入物品 i 和放入物品 i 两种方案中的价值更大的那一个。由此可推出状态转移方程：
dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
需要注意的是，若当前物品重量 wgt[i - 1] 超出剩余背包容量 c ，则只能选择不放入背包。
第三步：确定边界条件和状态转移顺序
当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 0 ，即所有 dp[i, 0] 和 dp[0, c] 都等于 0 。
当前状态 [i, c] 从上方的状态 [i-1, c] 和左上方的状态 [i-1, c-wgt[i-1]] 转移而来，因此通过两层循环正序遍历整个 dp 表即可。
!!! tip
完成以上三步后，我们可以直接实现从底至顶的动态规划解法。而为了展示本题包含的重叠子问题，本文也同时给出从顶至底的暴力搜索和记忆化搜索解法。
方法一：暴力搜索
搜索代码包含以下要素：
- 递归参数：状态
[i, c]；返回值：子问题的解dp[i, c]。 - 终止条件：当物品编号越界
i = 0或背包剩余容量为0时，终止递归并返回价值0。 - 剪枝：若当前物品重量超出背包剩余容量，则只能不放入背包。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```
如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此最差时间复杂度为 O(2^n) 。
观察递归树，容易发现其中存在一些「重叠子问题」，例如 dp[1, 10] 等。而当物品较多、背包容量较大，尤其是当相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。
方法二：记忆化搜索
为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 mem 来记录子问题的解，其中 mem[i][c] 对应解 dp[i, c] 。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```
引入记忆化之后，所有子问题都只被计算一次，因此时间复杂度取决于子问题数量，也就是 O(n \times cap) 。
方法三：动态规划
动态规划解法本质上就是在状态转移中填充 dp 表的过程，代码如下所示。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```
如下图所示，时间复杂度由数组 dp 大小决定，为 O(n \times cap) 。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
=== "<10>"
=== "<11>"
=== "<12>"
=== "<13>"
=== "<14>"
状态压缩
最后考虑状态压缩。以上代码中的数组 dp 占用 O(n \times cap) 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 O(n^2) 将低至 O(n) 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。
那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 i 行时，该数组存储的仍然是第 i-1 行的状态，为了避免左方区域的格子在状态转移中被覆盖，应该采取倒序遍历。
以下动画展示了在单个数组下从第 i=1 行转换至第 i=2 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
如以下代码所示，我们仅需将数组 dp 的第一维 i 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```