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Raw Blame History Unescape Escape

初探动态规划

「动态规划 Dynamic Programming」是一种用于解决复杂问题的优化算法，它把一个问题分解为一系列更小的子问题，并把子问题的解存储起来以供后续使用，从而避免了重复计算，提升了解题效率。

在本节中，我们先从一个动态规划的经典例题入手，先给出它的暴力回溯解法，观察其中包含的重叠子问题，再一步步导出更高效的动态规划解法。

!!! question "爬楼梯"

给定一个共有 $n$ 阶的楼梯，你每步可以上 $1$ 阶或者 $2$ 阶，请问有多少种方案可以爬到楼顶。

如下图所示，对于一个 3 阶楼梯，共有 3 种方案可以爬到楼顶。

本题的目标是求解方案数量，我们可以考虑通过回溯来穷举所有可能性。具体来说，将爬楼梯想象为一个多轮选择的过程：从地面出发，每轮选择上 1 阶或 2 阶，每当到达楼梯顶部时就将方案数量加 1 ，当越过楼梯顶部时就将其剪枝。

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_backtrack.java"
[class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{backtrack}

[class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_backtrack.cpp"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_backtrack.py"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_backtrack}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_backtrack.go"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="climbing_stairs_backtrack.js"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="climbing_stairs_backtrack.ts"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_backtrack.c"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_backtrack.cs"
[class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{backtrack}

[class]{climbing_stairs_backtrack}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_backtrack.swift"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "Zig"

```zig title="climbing_stairs_backtrack.zig"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_backtrack.dart"
[class]{}-[func]{backtrack}

[class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack}
```

方法一：暴力搜索

回溯算法通常并不显式地对问题进行拆解，而是将问题看作一系列决策步骤，通过试探和剪枝，搜索所有可能的解。

对于本题，我们可以尝试将问题拆解为更小的子问题。设爬到第 i 阶共有 dp[i] 种方案，那么 dp[i] 就是原问题，其子问题包括:


dp[i-1] , dp[i-2] , \cdots , dp[2] , dp[1]

由于每轮只能上 1 阶或 2 阶，因此当我们站在第 i 阶楼梯上时，上一轮只可能站在第 i - 1 阶或第 i - 2 阶上，换句话说，我们只能从第 i -1 阶或第 i - 2 阶前往第 i 阶。因此，爬到第 i - 1 阶的方案数加上爬到第 i - 2 阶的方案数就等于爬到第 i 阶的方案数，即：


dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]

也就是说，在爬楼梯问题中，各个子问题之间不是相互独立的，原问题的解可以由子问题的解构成。

我们可以基于此递推公式写出暴力搜索代码：以 dp[n] 为起始点，从顶至底地将一个较大问题拆解为两个较小问题的和，直至到达最小子问题 dp[1] 和 dp[2] 时返回。其中，最小子问题的解是已知的，即爬到第 1 , 2 阶分别有 1 , 2 种方案。

观察以下代码，它与回溯解法都属于深度优先搜索，但比回溯算法更加简洁。

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dfs.java"
[class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{dfs}

[class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dfs.cpp"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dfs.py"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dfs.go"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="climbing_stairs_dfs.js"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="climbing_stairs_dfs.ts"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dfs.c"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dfs.cs"
[class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{dfs}

[class]{climbing_stairs_dfs}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dfs.swift"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "Zig"

```zig title="climbing_stairs_dfs.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dfs.dart"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFS}
```

下图展示了该方法形成的递归树。对于问题 dp[n] ，递归树的深度为 n ，时间复杂度为 O(2^n) 。指数阶的运行时间增长地非常快，如果我们输入一个比较大的 n ，则会陷入漫长的等待之中。

实际上，指数阶的时间复杂度是由于「重叠子问题」导致的。例如，问题 dp[9] 被分解为子问题 dp[8] 和 dp[7] ，问题 dp[8] 被分解为子问题 dp[7] 和 dp[6] ，两者都包含子问题 dp[7] ，而子问题中又包含更小的重叠子问题，子子孙孙无穷尽也，绝大部分计算资源都浪费在这些重叠的问题上。

方法二：记忆化搜索

为了提升算法效率，我们希望所有的重叠子问题都只被计算一次。具体来说，考虑借助一个数组 mem 来记录每个子问题的解，并在搜索过程中这样做：

当首次计算 dp[i] 时，我们将其记录至 mem[i] ，以便之后使用；
当再次需要计算 dp[i] 时，我们便可直接从 mem[i] 中获取结果，从而将重叠子问题剪枝；

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dfs_mem.java"
[class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{dfs}

[class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dfs_mem.cpp"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dfs_mem.py"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbing_stairs_dfs_mem}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dfs_mem.go"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="climbing_stairs_dfs_mem.js"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="climbing_stairs_dfs_mem.ts"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dfs_mem.c"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dfs_mem.cs"
[class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{dfs}

[class]{climbing_stairs_dfs_mem}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dfs_mem.swift"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "Zig"

```zig title="climbing_stairs_dfs_mem.zig"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dfs_mem.dart"
[class]{}-[func]{dfs}

[class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem}
```

观察下图，经过记忆化处理后，所有重叠子问题都只需被计算一次，时间复杂度被优化至 O(n) ，这是一个巨大的飞跃。实际上，如果不考虑递归带来的额外开销，记忆化搜索解法已经几乎等同于动态规划解法的时间效率。

方法三：动态规划

记忆化搜索是一种“从顶至底”的方法：我们从原问题（根节点）开始，递归地将较大子问题分解为较小子问题，直至解已知的最小子问题（叶节点）；最终通过回溯将子问题的解逐层收集，得到原问题的解。

我们也可以直接“从底至顶”进行求解，得到标准的动态规划解法：从最小子问题开始，迭代地求解较大子问题，直至得到原问题的解。

由于动态规划不包含回溯过程，因此无需使用递归，而可以直接基于递推实现。我们初始化一个数组 dp 来存储子问题的解，从最小子问题开始，逐步求解较大子问题。在以下代码中，数组 dp 起到了记忆化搜索中数组 mem 相同的记录作用。

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dp.java"
[class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dp.py"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
[class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "Zig"

```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsDP}
```

与回溯算法一样，动态规划也使用“状态”概念来表示问题求解的某个特定阶段，每个状态都对应一个子问题以及相应的局部最优解。例如对于爬楼梯问题，状态定义为当前所在楼梯阶数。动态规划的常用术语包括：

将 dp 数组称为「状态列表」，dp[i] 代表第 i 个状态的解；
将最简单子问题对应的状态（即第 1 , 2 阶楼梯）称为「初始状态」；
将递推公式 dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 称为「状态转移方程」；

细心的你可能发现，由于 dp[i] 只与 dp[i-1] 和 dp[i-2] 有关，因此我们无需使用一个数组 dp 来存储所有状态，而只需两个变量滚动前进即可。如以下代码所示，由于省去了数组 dp 占用的空间，因此空间复杂度从 O(n) 降低至 O(1) 。

=== "Java"

```java title="climbing_stairs_dp.java"
[class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "C++"

```cpp title="climbing_stairs_dp.cpp"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "Python"

```python title="climbing_stairs_dp.py"
[class]{}-[func]{climbing_stairs_dp_comp}
```

=== "Go"

```go title="climbing_stairs_dp.go"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="climbing_stairs_dp.js"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="climbing_stairs_dp.ts"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "C"

```c title="climbing_stairs_dp.c"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "C#"

```csharp title="climbing_stairs_dp.cs"
[class]{climbing_stairs_dp}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "Swift"

```swift title="climbing_stairs_dp.swift"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "Zig"

```zig title="climbing_stairs_dp.zig"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

=== "Dart"

```dart title="climbing_stairs_dp.dart"
[class]{}-[func]{climbingStairsDPComp}
```

我们将这种空间优化技巧称为「状态压缩」。在许多动态规划问题中，当前状态仅与前面有限个状态有关，不必保存所有的历史状态，这时我们可以应用状态压缩，只保留必要的状态，通过“降维”来节省内存空间。

总的看来，子问题分解是一种通用的算法思路，在分治算法、动态规划、回溯算法中各有特点：

分治算法将原问题划分为几个独立的子问题，然后递归解决子问题，最后合并子问题的解得到原问题的解。例如，归并排序将长数组不断划分为两个短子数组，再将排序好的子数组合并为排序好的长数组。
动态规划也是将原问题分解为多个子问题，但与分治算法的主要区别是，动态规划中的子问题往往不是相互独立的，原问题的解依赖于子问题的解，而子问题的解又依赖于更小的子问题的解。因此，动态规划通常会引入记忆化，保存已经解决的子问题的解，避免重复计算。
回溯算法在尝试和回退中穷举所有可能的解，并通过剪枝避免不必要的搜索分支。原问题的解由一系列决策步骤构成，我们可以将每个决策步骤之后的剩余问题看作为一个子问题。

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初探动态规划

方法一：暴力搜索

方法二：记忆化搜索

方法三：动态规划

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