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0-1 背包问题

背包问题是学习动态规划的一个非常好的入门题目，其涉及到“选择与不选择”和“限制条件下的最优化”等问题，是动态规划中最常见的问题形式。

背包问题具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。在本节中，我们先来学习最简单的 0-1 背包问题。

!!! question

给定 $n$ 个物品，第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$ 、价值为 $val[i-1]$ ，现在有个容量为 $cap$ 的背包，请求解在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

请注意，物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数，但数组索引从 $0$ 开始计数，因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。

下图给出了一个 0-1 背包的示例数据，背包内的最大价值为 220 。

接下来，我们仍然先从回溯角度入手，先给出暴力搜索解法；再引入记忆化处理，得到记忆化搜索和动态规划解法。

方法一：暴力搜索

0-1 背包问题是一道典型的“选或不选”的问题，0 代表不选、1 代表选。我们可以将 0-1 背包看作是一个由 n 轮决策组成的搜索过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策。不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得：

• 状态包括物品编号 i 和背包容量 c，记为 [i, c] 。
• 状态 [i, c] 对应子问题“前 i 个物品在容量为 c 背包中的最大价值”，解记为 dp[i, c] 。

当我们做出物品 i 的决策后，剩余的是前 i-1 个物品的子问题，因此状态转移分为两种：

• 不放入物品 i ：背包容量不变，状态转移至 [i-1, c] ；
• 放入物品 i ：背包容量减小 wgt[i-1] ，价值增加 val[i-1] ，状态转移至 [i-1, c-wgt[i-1]] ；

上述的状态转移向我们展示了本题的「最优子结构」：最大价值 dp[i, c] 等于不放入物品 i 和放入物品 i 两种方案中的价值更大的那一个。由此可推出状态转移方程：

dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])

以下是暴力搜索的实现代码，其中包含以下要素：

• 递归参数：状态 [i, c] ；返回值：子问题的解 dp[i, c] 。
• 终止条件：当已完成 n 轮决策或背包无剩余容量为时，终止递归并返回价值 0 。
• 剪枝：若当前物品重量 wgt[i - 1] 超出剩余背包容量 c ，则只能选择不放入背包。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs}
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFS}
```

如下图所示，由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支，因此最差时间复杂度为 O(2^n) 。

观察递归树，容易发现其中存在一些「重叠子问题」。而当物品较多、背包容量较大，尤其是当相同重量的物品较多时，重叠子问题的数量将会大幅增多。

方法二：记忆化搜索

为了防止重复求解重叠子问题，我们借助一个记忆列表 mem 来记录子问题的解，其中 mem[i][c] 表示前 i 个物品在容量为 c 背包中的最大价值。当再次遇到相同子问题时，直接从 mem 中获取记录。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dfs_mem}
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDFSMem}
```

引入记忆化之后，所有子问题最多只被计算一次，因此时间复杂度取决于子问题数量，也就是 O(n \times cap) 。

方法三：动态规划

接下来就是体力活了，我们将“从顶至底”的记忆化搜索代码译写为“从底至顶”的动态规划代码。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp}
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDP}
```

观察下图，动态规划的过程本质上就是填充 dp 列表（矩阵）的过程，时间复杂度也为 O(n \times cap) 。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

=== "<7>"

=== "<8>"

=== "<9>"

=== "<10>"

=== "<11>"

=== "<12>"

=== "<13>"

=== "<14>"

接下来考虑状态压缩。以上代码中的 dp 矩阵占用 O(n \times cap) 空间。由于每个状态都只与其上一行的状态有关，因此我们可以使用两个数组滚动前进，将空间复杂度从 O(n^2) 将低至 O(n) 。代码省略，有兴趣的同学可以自行实现。

那么，我们是否可以仅用一个数组实现状态压缩呢？观察可知，每个状态都是由左上方或正上方的格子转移过来的。假设只有一个数组，当遍历到第 i 行时，该数组存储的仍然是第 i-1 行的状态，为了避免左边区域的格子被覆盖，我们应采取倒序遍历，这样方可实现正确的状态转移。

以下动画展示了在单个数组下从第 i=1 行转换至第 i=2 行的过程。建议你思考一下正序遍历和倒序遍历的区别。

=== "<1>"

=== "<2>"

=== "<3>"

=== "<4>"

=== "<5>"

=== "<6>"

如以下代码所示，我们仅需将 dp 列表的第一维 i 直接删除，并且将内循环修改为倒序遍历即可。

=== "Java"

```java title="knapsack.java"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C++"

```cpp title="knapsack.cpp"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Python"

```python title="knapsack.py"
[class]{}-[func]{knapsack_dp_comp}
```

=== "Go"

```go title="knapsack.go"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "JavaScript"

```javascript title="knapsack.js"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "TypeScript"

```typescript title="knapsack.ts"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C"

```c title="knapsack.c"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "C#"

```csharp title="knapsack.cs"
[class]{knapsack}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Swift"

```swift title="knapsack.swift"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Zig"

```zig title="knapsack.zig"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```

=== "Dart"

```dart title="knapsack.dart"
[class]{}-[func]{knapsackDPComp}
```