|
|
# 二叉树遍历
|
|
|
|
|
|
从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。
|
|
|
|
|
|
二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。
|
|
|
|
|
|
## 层序遍历
|
|
|
|
|
|
如下图所示，<u>层序遍历（level-order traversal）</u>从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。
|
|
|
|
|
|
层序遍历本质上属于<u>广度优先遍历（breadth-first traversal）</u>，也称<u>广度优先搜索（breadth-first search, BFS）</u>，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 代码实现
|
|
|
|
|
|
广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
### 复杂度分析
|
|
|
|
|
|
- **时间复杂度为 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
|
|
|
- **空间复杂度为 $O(n)$** ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
|
|
|
|
|
|
## 前序、中序、后序遍历
|
|
|
|
|
|
相应地，前序、中序和后序遍历都属于<u>深度优先遍历（depth-first traversal）</u>，也称<u>深度优先搜索（depth-first search, DFS）</u>，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。
|
|
|
|
|
|
下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 代码实现
|
|
|
|
|
|
深度优先搜索通常基于递归实现：
|
|
|
|
|
|
```src
|
|
|
[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
|
|
深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。
|
|
|
|
|
|
下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。
|
|
|
|
|
|
1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
|
|
|
2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。
|
|
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<10>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "<11>"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
### 复杂度分析
|
|
|
|
|
|
- **时间复杂度为 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间。
|
|
|
- **空间复杂度为 $O(n)$** ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。
|
