You can not select more than 25 topics
Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
72 lines
2.6 KiB
72 lines
2.6 KiB
# Top-K 问题
|
|
|
|
!!! question
|
|
|
|
给定一个长度为 $n$ 无序数组 `nums` ，请返回数组中前 $k$ 大的元素。
|
|
|
|
对于该问题，我们先介绍两种思路比较直接的解法，再介绍效率更高的堆解法。
|
|
|
|
## 方法一：遍历选择
|
|
|
|
我们可以进行下图所示的 $k$ 轮遍历，分别在每轮中提取第 $1$、$2$、$\dots$、$k$ 大的元素，时间复杂度为 $O(nk)$ 。
|
|
|
|
此方法只适用于 $k \ll n$ 的情况，因为当 $k$ 与 $n$ 比较接近时，其时间复杂度趋向于 $O(n^2)$ ，非常耗时。
|
|
|
|
|
|
|
|
!!! tip
|
|
|
|
当 $k = n$ 时，我们可以得到完整的有序序列，此时等价于“选择排序”算法。
|
|
|
|
## 方法二：排序
|
|
|
|
如下图所示，我们可以先对数组 `nums` 进行排序，再返回最右边的 $k$ 个元素，时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
|
|
|
|
显然，该方法“超额”完成任务了，因为我们只需要找出最大的 $k$ 个元素即可，而不需要排序其他元素。
|
|
|
|
|
|
|
|
## 方法三：堆
|
|
|
|
我们可以基于堆更加高效地解决 Top-K 问题，流程如下图所示。
|
|
|
|
1. 初始化一个小顶堆，其堆顶元素最小。
|
|
2. 先将数组的前 $k$ 个元素依次入堆。
|
|
3. 从第 $k + 1$ 个元素开始，若当前元素大于堆顶元素，则将堆顶元素出堆，并将当前元素入堆。
|
|
4. 遍历完成后，堆中保存的就是最大的 $k$ 个元素。
|
|
|
|
=== "<1>"
|
|
|
|
|
|
=== "<2>"
|
|
|
|
|
|
=== "<3>"
|
|
|
|
|
|
=== "<4>"
|
|
|
|
|
|
=== "<5>"
|
|
|
|
|
|
=== "<6>"
|
|
|
|
|
|
=== "<7>"
|
|
|
|
|
|
=== "<8>"
|
|
|
|
|
|
=== "<9>"
|
|
|
|
|
|
总共执行了 $n$ 轮入堆和出堆，堆的最大长度为 $k$ ，因此时间复杂度为 $O(n \log k)$ 。该方法的效率很高，当 $k$ 较小时，时间复杂度趋向 $O(n)$ ；当 $k$ 较大时，时间复杂度不会超过 $O(n \log n)$ 。
|
|
|
|
另外，该方法适用于动态数据流的使用场景。在不断加入数据时，我们可以持续维护堆内的元素，从而实现最大 $k$ 个元素的动态更新。
|
|
|
|
```src
|
|
[file]{top_k}-[class]{}-[func]{top_k_heap}
|
|
```
|